Помогите плиз с задачей и решение: Радиус окружности равен 4. Центр окружности принадлежит оси Oy и...

Для решения задачи используем общее уравнение окружности с центром в точке ((a, b)) и радиусом (R):

[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2. ]

Что известно из условия:

1. Радиус окружности (R = 4), то есть (R^2 = 16).
2. Центр окружности ((a, b)) лежит на оси (Oy), поэтому абсцисса (a = 0), а ордината (b < 0) (отрицательная ордината).
3. Окружность проходит через точку ((0, -2)).

Описание решения:

1. Подставим известные данные в уравнение окружности. Так как (a = 0), уравнение принимает вид: [ x^2 + (y - b)^2 = 16. ]

2. Окружность проходит через точку ((0, -2)). Подставим координаты этой точки ((x = 0, y = -2)) в уравнение: [ 0^2 + ((-2) - b)^2 = 16. ]

   Упростим: [ (-2 - b)^2 = 16. ]

3. Раскроем квадрат: [ (-2 - b)^2 = (-2 - b)(-2 - b) = 4 + 4b + b^2. ]

   Таким образом, получаем: [ 4 + 4b + b^2 = 16. ]

4. Приведём уравнение к стандартному виду: [ b^2 + 4b - 12 = 0. ]

5. Решим квадратное уравнение (b^2 + 4b - 12 = 0) через дискриминант. Напомним формулу дискриминанта: [ D = b_1^2 - 4ac. ]

   Для уравнения (b2

Для нахождения уравнения окружности, воспользуемся стандартной формой уравнения окружности с центром в точке ((a; b)) и радиусом (r):

[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 ]

В данном случае радиус (r = 4), а центр окружности находится на оси (Oy), то есть (a = 0). Обозначим координаты центра окружности как ((0; b)), где (b < 0).

Поскольку окружность проходит через точку ((0; -2)), подставим её координаты в уравнение:

[ (0 - 0)^2 + (-2 - b)^2 = 4^2 ]

Это упрощается до:

[ (-2 - b)^2 = 16 ]

Теперь извлечем квадратный корень:

[ -2 - b = 4 \quad \text{или} \quad -2 - b = -4 ]

Решая первое уравнение:

[ -2 - b = 4 \implies -b = 6 \implies b = -6 ]

Решая второе уравнение:

[ -2 - b = -4 \implies -b = -2 \implies b = 2 \quad (\text{не подходит, так как } b < 0) ]

Таким образом, координаты центра окружности ((0; -6)).

Теперь можем записать уравнение окружности:

[ (x - 0)^2 + (y + 6)^2 = 16 ]

Или, упростив:

[ x^2 + (y + 6)^2 = 16 ]

Чтобы найти уравнение окружности, нужно знать его центр и радиус. У нас есть радиус окружности ( r = 4 ) и информация о том, что центр окружности находится на оси ( Oy ) с отрицательной ординатой. Также известно, что окружность проходит через точку ( (0; -2) ).

1. Определим координаты центра окружности.
   Пусть центр окружности имеет координаты ( (0; y_0) ), где ( y_0 < 0 ).

2. Используем радиус окружности.
   Радиус окружности равен 4, и окружность проходит через точку ( (0; -2) ). Это означает, что расстояние от центра окружности до этой точки должно равняться радиусу.

Используем формулу для вычисления расстояния между двумя точками: [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ] Где ( (x_1, y_1) = (0, y_0) ) и ( (x_2, y_2) = (0, -2) ). Подставляем значения: [ d = \sqrt{(0 - 0)^2 + (-2 - y_0)^2} = \sqrt{(-2 - y_0)^2} ] Так как расстояние ( d ) равно радиусу, мы можем записать: [ \sqrt{(-2 - y_0)^2} = 4 ] Из этого уравнения получаем два случая: [ -2 - y_0 = 4 \quad \text{или} \quad -2 - y_0 = -4 ]

Решим оба случая.

Случай 1: [ -2 - y_0 = 4 \implies -y_0 = 6 \implies y_0 = -6 ]

Случай 2: [ -2 - y_0 = -4 \implies -y_0 = -2 \implies y_0 = -2 ]

Так как ( y_0 ) должно быть отрицательным и меньше -2, то принимаем только первый случай:
( y_0 = -6 ).

1. Находим уравнение окружности.
   Теперь, зная координаты центра окружности ( (0, -6) ) и радиус ( r = 4 ), можем записать уравнение окружности в канонической форме: [ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 ] Подставим значения: [ (x - 0)^2 + (y - (-6))^2 = 4^2 ] Упрощаем уравнение: [ x^2 + (y + 6)^2 = 16 ]

Таким образом, уравнение окружности, радиус которой равен 4 и центр находится в точке ( (0, -6) ), имеет вид: [ x^2 + (y + 6)^2 = 16 ]