Плоскость пересекает стороны трапеции ABCD в точках E и F соответственно. Основания трапеции параллельны...

EF = 3 см

Чтобы решить задачу, воспользуемся свойством трапеции и теоремой о пропорциональных отрезках.

Дано, что (ABCD) — это трапеция с основаниями (AB) и (CD), где (AB = 4) см и (CD = 7) см. Плоскость пересекает стороны (AD) и (BC) трапеции в точках (E) и (F) соответственно. Из условия задачи известно, что отношение отрезков на одной из боковых сторон трапеции (BE:EA = 2:3).

Используя это отношение, мы можем выразить длины отрезков (BE) и (EA) через переменную. Пусть (BE = 2x) и (EA = 3x). Тогда полная длина стороны (BA = BE + EA = 5x).

Так как плоскость пересекает трапецию, создавая отрезок (EF), который параллелен основаниям (AB) и (CD), отрезок (EF) будет пропорционален основаниям трапеции в том же отношении, что и отрезки (BE) и (EA).

Чтобы найти длину (EF), воспользуемся свойством пропорциональных отрезков в трапеции. Поскольку (EF) параллелен основаниям, его длина будет пропорциональна основаниям так же, как сумма отрезков одной из боковых сторон к её полной длине.

Это можно выразить как:

[ \frac{EF}{AB} = \frac{BE}{BE + EA} = \frac{2x}{5x} = \frac{2}{5} ]

Теперь подставим известную длину основания (AB = 4) см:

[ \frac{EF}{4} = \frac{2}{5} ]

Решим это уравнение относительно (EF):

[ EF = \frac{2}{5} \times 4 = \frac{8}{5} = 1.6 \text{ см} ]

Таким образом, длина отрезка (EF) равна 1.6 см.

Для решения данной задачи можно воспользоваться теоремой подобия треугольников.

Пусть точка E делит отрезок BC в отношении 2:3, тогда BE = 2x, а EC = 3x. Так как EF - это высота трапеции, то треугольники BEF и CEF подобны треугольнику ABC.

Следовательно, отношение сторон треугольников BEF и CEF равно отношению сторон трапеции ABC, то есть EF:EC = BE:BC.

Подставляем известные значения: EF:3x = 2x:7. Решив это уравнение, получим EF = 6 см.

Таким образом, длина отрезка EF равна 6 см.