Площадь треугольника АВС равна 80. биссектриса AD пересекает медиану BK в точке E при этом BD:CD=1:3....

Для начала найдем площадь треугольника BDK. Пусть x - длина BD, тогда CD = 3x (согласно условию). По правилу треугольника BDK = 1/2 BD BK sin(∠B). Из теоремы синусов sin(∠B) = BC / BK = 2 / 3, где BC = CD - DB = 2x. Тогда площадь треугольника BDK равна 1/2 x 2x 3 * 2 / 3 = 2x^2.

Теперь найдем площадь треугольника ABC. Пусть a, b, c - стороны треугольника ABC, тогда площадь треугольника ABC равна S_ABC = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p = (a + b + c) / 2. По формуле Герона получаем S_ABC = sqrt(804020*40) = 80.

Теперь найдем площадь треугольника ADE. Поскольку AD - биссектриса треугольника ABC, то S_ADE = S_ABC AD / AB = 80 2 / 5 = 32.

Теперь найдем площадь четырехугольника EDCK. Площадь четырехугольника EDCK равна S_EDCK = S_ABC - S_ADE - S_BDK = 80 - 32 - 2x^2. Так как BD:CD=1:3, то x^2 = S_BDK / 2 = 2, следовательно S_EDCK = 80 - 32 - 2*2 = 44.

Итак, площадь четырехугольника EDCK равна 44.

Площадь четырехугольника EDCK равна 20.

Для решения задачи начнем с анализа данных:

1. Площадь треугольника ( \triangle ABC ) составляет 80.
2. Точка ( D ) на стороне ( BC ) такая, что ( BD:CD = 1:3 ). Это делит сторону ( BC ) в отношении ( 1:3 ).
3. Точка ( E ) — это точка пересечения биссектрисы ( AD ) и медианы ( BK ).

Шаг 1: Определение координат точки ( D )

Поскольку ( BD:CD = 1:3 ), точка ( D ) делит ( BC ) в отношении 1:3. Это означает, что если длина ( BC ) обозначена как ( x ), то ( BD = \frac{x}{4} ) и ( CD = \frac{3x}{4} ).

Шаг 2: Свойства медианы и биссектрисы

Медиана ( BK ) делит сторону ( AC ) пополам в точке ( K ). Поскольку ( E ) лежит на этой медиане, давайте рассмотрим свойства биссектрисы.

Биссектриса ( AD ) делит угол ( \angle BAC ) пополам. Это значит, что она делит противоположную сторону ( BC ) в отношении, равном отношению сторон ( AB ) и ( AC ), но это не влияет на данную задачу, поскольку отношение уже дано.

Шаг 3: Площадь треугольников

Площадь треугольника ( \triangle BDC ) составляет четверть от площади ( \triangle ABC ) из-за отношения ( BD:CD = 1:3 ). Поэтому:

[ \text{Площадь } \triangle BDC = \frac{1}{4} \times 80 = 20 ]

Шаг 4: Определение площади четырехугольника ( EDCK )

Мы знаем, что точка ( E ) делит треугольник ( \triangle BDC ) на два треугольника ( \triangle BDE ) и ( \triangle EDC ). Поскольку ( E ) лежит на медиане и биссектрисе, она делит треугольник ( \triangle BDC ) на два треугольника с равными площадями. Следовательно, площадь ( \triangle EDC ) равна половине от площади ( \triangle BDC ):

[ \text{Площадь } \triangle EDC = \frac{1}{2} \times 20 = 10 ]

Теперь рассмотрим четырехугольник ( EDCK ), который состоит из треугольника ( \triangle EDC ) и трапеции ( DCK ). Поскольку точка ( K ) — середина ( AC ), т.е., медиана делит треугольник ( \triangle ABC ) на две равные площади, площадь треугольника ( \triangle ACK ) равна половине от ( \triangle ABC ):

[ \text{Площадь } \triangle ACK = \frac{1}{2} \times 80 = 40 ]

Четырехугольник ( EDCK ) будет представлять собой часть этой площади, и площадь ( \triangle EDC ) уже учтена. Поскольку ( E ) делит медиану на два равных отрезка, то оставшаяся площадь ( \triangle ECK ) будет равной площади ( \triangle EDC ).

Таким образом, площадь четырехугольника ( EDCK ) равна сумме площадей ( \triangle EDC ) и ( \triangle ECK ):

[ \text{Площадь четырехугольника } EDCK = 10 + 10 = 20 ]

Итак, площадь четырехугольника ( EDCK ) равна 20.