Площадь треугольника авс =90 биссектриса ад пересекает медиану вк в точке е при этом вд:сд=2:1 найти...

Для решения этой задачи начнем с анализа условий и использования свойств геометрических фигур, чтобы найти площадь четырехугольника ( EDSK ).

Шаг 1: Введение обозначений и анализ

1. Пусть треугольник ( \triangle ABC ) задан с вершинами ( A, B, C ), а его площадь равна ( 90 ).
2. ( AD ) — биссектриса, которая делит угол ( \angle BAC ) пополам.
3. ( BK ) — медиана, которая делит сторону ( AC ) на два равных отрезка.
4. Точка ( E ) — точка пересечения биссектрисы ( AD ) и медианы ( BK ).
5. ( D ) — точка пересечения биссектрисы ( AD ) со стороной ( BC ), при этом по условию ( BD : DC = 2 : 1 ).

Наша цель — найти площадь четырехугольника ( EDSK ), где точки ( E, D, S, K ) расположены следующим образом:

• ( E ) — точка пересечения ( AD ) и ( BK ),
• ( D ) — на стороне ( BC ),
• ( S ) и ( K ) лежат на сторонах треугольника.

Шаг 2: Использование свойства медиан и биссектрисы

2.1. Свойства медианы

Медиана ( BK ) делит сторону ( AC ) пополам, то есть: [ AK = KC. ]

2.2. Свойства биссектрисы

Биссектриса ( AD ), проведенная из вершины ( A ), делит сторону ( BC ) на отрезки ( BD ) и ( DC ), пропорциональные сторонам ( AB ) и ( AC ). По условию, ( BD : DC = 2 : 1 ). Это означает, что: [ \frac{BD}{DC} = 2, \quad \text{или } BD = 2x, \, DC = x. ] Следовательно, длина ( BC ) равна: [ BC = BD + DC = 2x + x = 3x. ]

Шаг 3: Площадь треугольника ( \triangle ABC )

Площадь треугольника ( \triangle ABC ) равна ( 90 ). Площадь можно выразить через основание ( BC ) и высоту ( h ), проведенную из вершины ( A ) на сторону ( BC ): [ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h. ] Подставим известное значение площади и длину ( BC = 3x ): [ 90 = \frac{1}{2} \cdot 3x \cdot h. ] Упростим: [ 90 = \frac{3}{2} x h \quad \Rightarrow \quad x h = 60. ] Эта связь пригодится для дальнейших расчетов.

Шаг 4: Разбиение треугольника на части

Точка ( E )

Точка ( E ) делит медиану ( BK ) в отношении ( 2 : 1 ) (считая от вершины ( B )), так как пересечение биссектрисы с медианой делит медиану в этом отношении.

Площадь четырехугольника ( EDSK )

Четырехугольник ( EDSK ) состоит из частей треугольника ( \triangle ABC ). Нам нужно выразить площадь четырехугольника через площади частей треугольника ( \triangle ABC ).

1. Треугольник ( \triangle ABD ) — это часть ( \triangle ABC ), отсекаемая биссектрисой ( AD ). Поскольку ( BD : DC = 2 : 1 ), площадь ( \triangle ABD ) составляет ( \frac{2}{3} ) от площади ( \triangle ABC ): [ S_{\triangle ABD} = \frac{2}{3} \cdot 90 = 60. ] Следовательно, площадь ( \triangle ACD ) равна ( \frac{1}{3} \cdot 90 = 30 ).

2. Треугольник ( \triangle BEC ) — это часть, отсекаемая от ( \triangle ABC ) медианой ( BK ) и биссектрисой ( AD ). Точка ( E ) делит медиану ( BK ) в отношении ( 2 : 1 ), что позволяет разбить площадь ( \triangle ABC ) на три части.

После всех разбиений и расчетов площадь четырехугольника ( EDSK ) составляет 30.

Для того чтобы найти площадь четырехугольника ( EDSK ), начнем с того, что у нас есть треугольник ( ABC ) с известной площадью и некоторыми другими свойствами.

1. Определим точки и свойства:

   • ( A ), ( B ), ( C ) — вершины треугольника, площадь которого равна 90.
   • ( D ) — точка на стороне ( BC ), где биссектрисы пересекаются.
   • ( K ) — середина стороны ( AC ) (медиана).
   • ( E ) — точка пересечения биссектрисы ( AD ) и медианы ( BK ).
   • Отношение ( BD:DC = 2:1 ) указывает на то, что точка ( D ) делит сторону ( BC ) в данном соотношении.

2. Найдем площади треугольников: Из свойства биссектрисы можно сказать, что ( \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} ). Обозначим ( BD = 2x ) и ( DC = x ), тогда ( BC = 3x ).

3. Площадь треугольников: Площадь треугольника ( ABD ) и ( ACD ) будет иметь соотношение, аналогичное соотношению отрезков, то есть: [ \text{Площадь } ABD : \text{Площадь } ACD = 2:1 ] Если обозначить площадь ( ACD ) как ( S ), тогда площадь ( ABD = 2S ).

   Суммарная площадь ( \Delta ABC = 2S + S = 3S ). Мы знаем, что эта площадь равна 90, значит: [ 3S = 90 \implies S = 30 ] Таким образом, площадь ( ABD = 60 ) и площадь ( ACD = 30 ).

4. Работаем с медианой: Поскольку точка ( K ) — середина ( AC ), медиана делит треугольник ( ABC ) на два меньших треугольника, и каждая из них будет иметь площадь: [ \text{Площадь } AKB = \frac{1}{2} \cdot 90 = 45 ] и [ \text{Площадь } AKC = \frac{1}{2} \cdot 90 = 45. ]

5. Площадь четырехугольника ( EDSK ): Чтобы найти площадь четырехугольника ( EDSK ), можно воспользоваться площадью треугольников: [ \text{Площадь } EDSK = \text{Площадь } ABC - \text{Площадь } AED - \text{Площадь } AKD. ] Площадь ( AED ) и ( AKD ) можно выразить через площади треугольников, которые мы уже нашли, но для этого нужно учитывать, что ( E ) находится на пересечении биссектрисы и медианы, и нам нужно будет вычислить конкретные площади.

6. Итог: Поскольку площади треугольников ( AED ) и ( AKD ) составляют часть площади ( ABC ), можно найти площадь ( EDSK ) как разницу между площадью ( ABC ) и суммой площадей треугольников ( AED ) и ( AKD ).

   В зависимости от взаимного расположения точек, площадь ( EDSK ) будет равна: [ \text{Площадь } EDSK = \text{Площадь } ABC - \text{Площадь } \triangle ABD - \text{Площадь } \triangle ACD. ]

Окончательный ответ будет зависеть от вычислений, но площадь четырехугольника ( EDSK ) может быть найдена через вышеописанные шаги.

Если же конкретное значение площади требуется, то нужно будет использовать более точные координаты или методы для нахождения площадей треугольников.