Площадь сечения шара плоскостью, проведенной на расстоянии 6 см от центра, равна 64π см. Найдите объем...

Для решения задачи находим радиус шара, используя информацию о площади сечения плоскостью.

1. Площадь сечения шара: Когда плоскость пересекает шар, образуется круг. Площадь этого круга (сечения) равна (64\pi) квадратных сантиметров. Обозначим радиус этого круга через (r).

   Площадь круга выражается формулой: [ S = \pi r^2 ] Подставим известное значение площади: [ \pi r^2 = 64\pi ] Упростим уравнение, разделив обе части на (\pi): [ r^2 = 64 ] [ r = \sqrt{64} = 8 \text{ см} ]

2. Связь радиуса шара и расстояния от центра до сечения: Пусть (R) — радиус шара, а (d = 6) см — расстояние от центра шара до плоскости сечения. В таком случае радиус сечения (r), радиус шара (R) и расстояние (d) образуют прямоугольный треугольник, где (R) — гипотенуза, а (r) и (d) — катеты.

   По теореме Пифагора: [ R^2 = r^2 + d^2 ] Подставим известные значения: [ R^2 = 8^2 + 6^2 ] [ R^2 = 64 + 36 ] [ R^2 = 100 ] [ R = \sqrt{100} = 10 \text{ см} ]

3. Объем шара: Теперь, зная радиус шара (R), можем найти его объем. Объем шара рассчитывается по формуле: [ V = \frac{4}{3} \pi R^3 ] Подставим значение радиуса: [ V = \frac{4}{3} \pi (10)^3 ] [ V = \frac{4}{3} \pi \cdot 1000 ] [ V = \frac{4000}{3} \pi ] [ V \approx 4188.79 \text{ кубических сантиметров} \text{ (если округлить до двух знаков после запятой)} ]

Таким образом, объем шара равен (\frac{4000}{3} \pi) кубических сантиметров.

Объем шара равен 512π кубических сантиметров.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулой для площади сечения шара плоскостью, проведенной на расстоянии r от центра: S = πr^2, где r - расстояние от центра шара до плоскости.

Из условия задачи известно, что площадь сечения равна 64π см^2, а расстояние от центра шара до плоскости равно 6 см. Подставим данные значения в формулу и найдем радиус шара: 64π = π(6)^2 64π = 36π 64 = 36

Теперь, чтобы найти объем шара, воспользуемся формулой для объема шара: V = (4/3)πr^3. Подставим найденное значение радиуса и вычислим объем: V = (4/3)π(6)^3 V = (4/3)π216 V = 288π

Таким образом, объем шара равен 288π кубических сантиметров.