Площадь ромба равна 216см^2 , а длины его диагоналий относятся как 3:4 . Найдите сторону ромба.

Чтобы найти сторону ромба, начнем с использования формулы для площади ромба, выраженной через диагонали. Площадь ( S ) ромба равна половине произведения его диагоналей:

[ S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} ]

где ( d_1 ) и ( d_2 ) — длины диагоналей ромба. По условию, площадь ромба ( S = 216 \, \text{см}^2 ).

Также дано, что длины диагоналей относятся как 3:4. Это можно выразить как ( d_1 = 3x ) и ( d_2 = 4x ), где ( x ) — некое положительное число.

Подставим эти выражения в формулу для площади:

[ 216 = \frac{(3x) \cdot (4x)}{2} ]

[ 216 = \frac{12x^2}{2} ]

[ 216 = 6x^2 ]

Теперь решим это уравнение относительно ( x^2 ):

[ x^2 = \frac{216}{6} = 36 ]

[ x = \sqrt{36} = 6 ]

Зная ( x ), можем найти длины диагоналей:

[ d_1 = 3x = 3 \cdot 6 = 18 \, \text{см} ]

[ d_2 = 4x = 4 \cdot 6 = 24 \, \text{см} ]

Теперь найдем сторону ромба ( a ). Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Таким образом, каждая половина диагонали образует прямоугольный треугольник с половинами диагоналей как катетами, а сторона ромба является гипотенузой.

Используя теорему Пифагора:

[ a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} ]

[ a = \sqrt{\left(\frac{18}{2}\right)^2 + \left(\frac{24}{2}\right)^2} ]

[ a = \sqrt{9^2 + 12^2} ]

[ a = \sqrt{81 + 144} ]

[ a = \sqrt{225} ]

[ a = 15 \, \text{см} ]

Таким образом, сторона ромба равна 15 см.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулой для нахождения площади ромба:

S = (d1 * d2) / 2,

где S - площадь ромба, d1 и d2 - длины его диагоналей.

Из условия задачи известно, что S = 216 см^2 и d1 : d2 = 3 : 4.

Подставляем известные данные в формулу:

216 = (3x * 4x) / 2, 216 = 12x^2 / 2, 216 = 6x^2, x^2 = 36, x = 6.

Таким образом, длины диагоналей ромба равны 18 см и 24 см (3 6 и 4 6).

Чтобы найти сторону ромба, можно воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника, образованного стороной ромба и его диагоналями. Обозначим сторону ромба как a.

a^2 = (1/2 d1)^2 + (1/2 d2)^2, a^2 = (1/2 18)^2 + (1/2 24)^2, a^2 = 9^2 + 12^2, a^2 = 81 + 144, a^2 = 225, a = 15.

Таким образом, сторона ромба равна 15 см.