Площадь равностороннего треугольника равна S. Найдите: а) длину вписанной окружности; б) длину дуги,заключенной...

а) Длина вписанной окружности в равностороннем треугольнике равна 2πr, где r - радиус вписанной окружности. Радиус вписанной окружности можно найти по формуле r = S / p, где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника (p = a + b + c / 2, где a, b, c - стороны треугольника). Таким образом, длина вписанной окружности будет равна 2πS / (a + b + c).

б) Длина дуги, заключенной между двумя соседними точками касания, равна длине стороны треугольника. В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому длина дуги будет равна любой из сторон треугольника.

в) Площадь части треугольника, лежащей вне вписанной окружности, можно найти вычитанием площади вписанной окружности из площади треугольника. Таким образом, площадь части треугольника, лежащей вне вписанной окружности, равна S - πr^2, где r - радиус вписанной окружности.

a) Длина вписанной окружности равна ( \frac{2S}{\sqrt{3}} ); б) Длина дуги, заключенной между двумя соседними точками касания, равна ( \frac{S}{\sqrt{3}} ); в) Площадь части треугольника, лежащей вне вписанной окружности, равна ( \frac{S}{3} ).

Для решения этой задачи, давайте начнем с некоторых основных свойств равностороннего треугольника и вписанной окружности.

1. Сторона треугольника

   В равностороннем треугольнике площадь ( S ) и сторона ( a ) связаны следующим образом: [ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 ] Отсюда можно выразить сторону ( a ): [ a = \sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}} ]

2. Радиус вписанной окружности

   Радиус вписанной окружности ( r ) равен: [ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} ] Подставим выражение для ( a ): [ r = \frac{\sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{4S}}{6} = \frac{\sqrt{S}}{\sqrt{3}} ]

3. Длина вписанной окружности

   Длина ( C ) вписанной окружности: [ C = 2\pi r = 2\pi \frac{\sqrt{S}}{\sqrt{3}} = \frac{2\pi \sqrt{S}}{\sqrt{3}} ]

4. Длина дуги между двумя соседними точками касания

   В равностороннем треугольнике точки касания делят окружность на три равные дуги. Длина каждой дуги ( L ) составляет треть от длины окружности: [ L = \frac{C}{3} = \frac{2\pi \sqrt{S}}{3\sqrt{3}} ]

5. Площадь части треугольника, лежащей вне вписанной окружности

   Площадь треугольника вне вписанной окружности равна разнице между площадью треугольника и площадью вписанной окружности. Площадь вписанной окружности: [ \text{Площадь окружности} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{S}}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{\pi S}{3} ] Таким образом, площадь части треугольника вне окружности: [ \text{Площадь вне окружности} = S - \frac{\pi S}{3} = S \left(1 - \frac{\pi}{3}\right) ]

Итак, мы нашли: а) Длина вписанной окружности: ( \frac{2\pi \sqrt{S}}{\sqrt{3}} ) б) Длина дуги между двумя соседними точками касания: ( \frac{2\pi \sqrt{S}}{3\sqrt{3}} ) в) Площадь части треугольника, лежащей вне вписанной окружности: ( S \left(1 - \frac{\pi}{3}\right) )