Площадь равнобедренной трапеции равна 40 см2 . Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются середины сторон данной трапеции
Площадь равнобедренной трапеции равна 40 см2 . Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются середины сторон данной трапеции
Площадь четырехугольника равна половине площади исходной трапеции, то есть 20 см2.
Для решения задачи сначала обозначим элементы трапеции и используем соответствующие свойства геометрических фигур.
Пусть ( ABCD ) — равнобедренная трапеция, где ( AB ) и ( CD ) — основания, ( AD ) и ( BC ) — боковые стороны. Обозначим:
Площадь трапеции ( S ) выражается формулой: [ S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h ]
Так как известно, что ( S = 40 \ \text{см}^2 ), то: [ 40 = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h ]
Теперь найдем площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данной трапеции. Обозначим середины сторон ( AB, BC, CD ) и ( DA ) как ( M, N, P ) и ( Q ) соответственно. Четырехугольник ( MNPQ ) образует так называемый средний четырехугольник трапеции.
Известно, что середины сторон трапеции образуют параллелограмм. Площадь этого параллелограмма равна половине площади трапеции. Это следует из того, что средний четырехугольник разделяет трапецию на четыре треугольника одинаковой площади.
Таким образом, площадь параллелограмма ( MNPQ ) будет: [ S_{MNPQ} = \frac{1}{2} \cdot S ]
Подставим значение площади трапеции: [ S_{MNPQ} = \frac{1}{2} \cdot 40 = 20 \ \text{см}^2 ]
Следовательно, площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данной трапеции, равна 20 см².
Для решения данной задачи нам необходимо найти длины боковых сторон четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данной равнобедренной трапеции.
Пусть основания трапеции равны a и b, а высота равна h. Тогда площадь трапеции равна:
S = (a + b) * h / 2 = 40 см^2.
Так как трапеция равнобедренная, то стороны a и b будут равны, а h можно найти из формулы Пифагора:
h = √(a^2 - ((a - b) / 2)^2).
Теперь найдем длины сторон четырехугольника. Пусть x - длина боковой стороны четырехугольника. Тогда:
x = √(a^2 + b^2) / 2.
Площадь четырехугольника равна:
S' = x^2 = (a^2 + b^2) / 4.
Подставим известные значения и найдем площадь четырехугольника:
S' = (a^2 + b^2) / 4 = ((a + b)^2 - 2ab) / 4 = (2S - 2ab) / 4 = (80 - 2ab) / 4 = 20 - ab.
Таким образом, площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данной трапеции, равна 20 - ab квадратных сантиметров.
