Площадь правильного треугольника больше площади вписанного в него круга на 27√3-9π. найдите радиус круга

Радиус круга равен 3√3.

Чтобы найти радиус круга, вписанного в правильный треугольник, сначала обозначим некоторые параметры:

1. Пусть сторона правильного треугольника равна ( a ).

2. Площадь правильного треугольника ( S{\triangle} ) выражается через сторону ( a ) как: [ S{\triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 ]

3. Радиус вписанного круга ( r ) связан с площадью треугольника и полупериметром: [ r = \frac{S_{\triangle}}{p} ] где ( p ) — полупериметр треугольника, равный ( \frac{3a}{2} ). Тогда: [ r = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4} a^2}{\frac{3a}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{6} a ]

4. Площадь вписанного круга ( S{\text{круга}} ) равна: [ S{\text{круга}} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{6} a\right)^2 = \frac{\pi a^2}{12} ]

По условию задачи, разница между площадью треугольника и площадью вписанного круга равна ( 27\sqrt{3} - 9\pi ): [ S{\triangle} - S{\text{круга}} = 27\sqrt{3} - 9\pi ]

Подставим выражения для площадей: [ \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 - \frac{\pi a^2}{12} = 27\sqrt{3} - 9\pi ]

Вынесем ( a^2 ) за скобки: [ a^2 \left(\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{12}\right) = 27\sqrt{3} - 9\pi ]

Упростим выражение в скобках: [ \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{12} = \frac{3\sqrt{3} - \pi}{12} ]

Теперь уравнение принимает вид: [ a^2 \cdot \frac{3\sqrt{3} - \pi}{12} = 27\sqrt{3} - 9\pi ]

Умножим обе части на 12, чтобы избавиться от знаменателя: [ a^2 (3\sqrt{3} - \pi) = 324\sqrt{3} - 108\pi ]

Разделим обе части уравнения на ( 3\sqrt{3} - \pi ): [ a^2 = \frac{324\sqrt{3} - 108\pi}{3\sqrt{3} - \pi} ]

Теперь, зная ( a^2 ), можем найти радиус ( r ): [ r = \frac{\sqrt{3}}{6} a = \frac{\sqrt{3}}{6} \sqrt{a^2} ]

Таким образом, подставив значение ( a^2 ) в выражение для радиуса, мы получим численное значение ( r ). Это будет искомый радиус вписанного круга.

Для начала найдем площадь правильного треугольника. Площадь правильного треугольника равна (a^2 * √3) / 4, где "a" - длина стороны треугольника.

Площадь правильного треугольника: (a^2 * √3) / 4

Теперь найдем площадь вписанного в него круга. Площадь круга равна πr^2, где "r" - радиус круга.

Площадь круга: πr^2

Из условия задачи известно, что площадь правильного треугольника больше площади вписанного в него круга на 27√3-9π. То есть:

(a^2 * √3) / 4 = πr^2 + 27√3 - 9π

Далее решаем уравнение относительно "r":

πr^2 = (a^2 * √3) / 4 - 27√3 + 9π

r^2 = (a^2 * √3) / (4π) - (27√3 - 9π) / π

r = √((a^2 * √3) / (4π) - (27√3 - 9π) / π)

Таким образом, радиус вписанного в правильный треугольник круга равен √((a^2 * √3) / (4π) - (27√3 - 9π) / π).