Первый член геометрической прогрессии равен 64, а знаменатель равен -1/2 (дробью). Найдите сумму первых...

Для решения задачи найдем сумму первых шести членов геометрической прогрессии.

Даны:

• Первый член прогрессии ( a_1 = 64 ).
• Знаменатель прогрессии ( q = -\frac{1}{2} ).

Формула для суммы первых ( n ) членов геометрической прогрессии: [ S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} ]

В нашем случае ( n = 6 ), поэтому подставим значения в формулу: [ S_6 = 64 \frac{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^6}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)} ]

Сначала вычислим ( q^6 ): [ \left(-\frac{1}{2}\right)^6 = \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64} ]

Теперь подставим это значение в формулу: [ S_6 = 64 \frac{1 - \frac{1}{64}}{1 + \frac{1}{2}} ]

Упростим числитель: [ 1 - \frac{1}{64} = \frac{64}{64} - \frac{1}{64} = \frac{63}{64} ]

Теперь упростим знаменатель: [ 1 + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} ]

Теперь подставим обратно в формулу для суммы: [ S_6 = 64 \cdot \frac{\frac{63}{64}}{\frac{3}{2}} = 64 \cdot \frac{63}{64} \cdot \frac{2}{3} ]

Сократим ( 64 ) и получим: [ S_6 = 63 \cdot \frac{2}{3} ]

Теперь вычислим: [ S_6 = 63 \cdot \frac{2}{3} = 63 \cdot \frac{2}{3} = 42 ]

Таким образом, сумма первых шести членов геометрической прогрессии равна 42.

Для нахождения суммы первых n членов геометрической прогрессии можно воспользоваться формулой: S_n = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q), где a_1 - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии, n - количество членов.

В данном случае a_1 = 64, q = -1/2, n = 6. Подставляем значения в формулу: S_6 = 64 (1 - (-1/2)^6) / (1 - (-1/2)) S_6 = 64 (1 - 1/64) / (3/2) S_6 = 64 (63/64) / (3/2) S_6 = 64 63 2 / 64 3 S_6 = 126

Таким образом, сумма первых шести членов данной геометрической прогрессии равна 126.