Первое задание Даны вектора a {3 ; -2}, b {-1;1}.Найдите координаты векторов m = -3a, n = a + 2b . Второе...

Давайте разберем ваше задание шаг за шагом.

Первое задание

Даны векторы:

• ( \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \ -2 \end{pmatrix} )
• ( \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -1 \ 1 \end{pmatrix} )

1. Найдем вектор ( \mathbf{m} = -3\mathbf{a} )

Для нахождения вектора ( \mathbf{m} ) нам нужно умножить вектор ( \mathbf{a} ) на -3:

[ \mathbf{m} = -3\mathbf{a} = -3 \begin{pmatrix} 3 \ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \cdot 3 \ -3 \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 \ 6 \end{pmatrix} ]

Таким образом, координаты вектора ( \mathbf{m} ): [ \mathbf{m} = \begin{pmatrix} -9 \ 6 \end{pmatrix} ]

2. Найдем вектор ( \mathbf{n} = \mathbf{a} + 2\mathbf{b} )

Сначала найдем ( 2\mathbf{b} ):

[ 2\mathbf{b} = 2 \begin{pmatrix} -1 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot -1 \ 2 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \ 2 \end{pmatrix} ]

Теперь можем найти вектор ( \mathbf{n} ):

[ \mathbf{n} = \mathbf{a} + 2\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + (-2) \ -2 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} ]

Таким образом, координаты вектора ( \mathbf{n} ): [ \mathbf{n} = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} ]

Второе задание

Теперь запишем разложение векторов ( \mathbf{m} ) и ( \mathbf{n} ) по координатам векторов ( \mathbf{i} ) и ( \mathbf{j} ).

Векторы ( \mathbf{i} ) и ( \mathbf{j} ) представляют собой единичные векторы вдоль осей координат:

[ \mathbf{i} = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{j} = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix} ]

1. Разложение вектора ( \mathbf{m} )

Вектор ( \mathbf{m} = \begin{pmatrix} -9 \ 6 \end{pmatrix} ) можно записать как:

[ \mathbf{m} = -9\mathbf{i} + 6\mathbf{j} ]

2. Разложение вектора ( \mathbf{n} )

Вектор ( \mathbf{n} = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} ) можно записать как:

[ \mathbf{n} = 1\mathbf{i} + 0\mathbf{j} ]

Итог

1. Вектор ( \mathbf{m} ) имеет координаты ( \begin{pmatrix} -9 \ 6 \end{pmatrix} ) и разложение: ( \mathbf{m} = -9\mathbf{i} + 6\mathbf{j} ).
2. Вектор ( \mathbf{n} ) имеет координаты ( \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} ) и разложение: ( \mathbf{n} = 1\mathbf{i} + 0\mathbf{j} ).

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно что-то уточнить, не стесняйтесь спрашивать!

Давайте последовательно разберём оба задания, объясняя все шаги подробно.

Задание 1.

Даны векторы:
(\vec{a} = (3; -2)),
(\vec{b} = (-1; 1)).

Нужно найти:

1. (\vec{m} = -3\vec{a})
2. (\vec{n} = \vec{a} + 2\vec{b}).

1. Найдём (\vec{m}):

По правилу умножения вектора на число:
Если вектор (\vec{a} = (x; y)), то (-3\vec{a} = (-3 \cdot x; -3 \cdot y)).
Подставляем значения координат вектора (\vec{a} = (3; -2)):
[ \vec{m} = -3 \cdot \vec{a} = (-3 \cdot 3; -3 \cdot (-2)) = (-9; 6). ]
Таким образом, координаты вектора (\vec{m} = (-9; 6)).

2. Найдём (\vec{n}):

По правилу сложения векторов:
Если (\vec{a} = (x_1; y_1)) и (\vec{b} = (x_2; y_2)), то
(\vec{a} + 2\vec{b} = (x_1 + 2 \cdot x_2; y_1 + 2 \cdot y_2)).
Подставляем координаты:
[ \vec{n} = (3; -2) + 2 \cdot (-1; 1). ]
Сначала умножим (\vec{b}) на 2:
[ 2 \cdot \vec{b} = 2 \cdot (-1; 1) = (-2; 2). ]
Теперь складываем ((3; -2)) и ((-2; 2)):
[ \vec{n} = (3 + (-2); -2 + 2) = (1; 0). ]
Таким образом, координаты вектора (\vec{n} = (1; 0)).

Ответ к первому заданию:

• (\vec{m} = (-9; 6)),
• (\vec{n} = (1; 0)).

Задание 2.

Представить (\vec{m}) и (\vec{n}) через базисные векторы (\vec{i}) и (\vec{j}), где:
(\vec{i} = (1; 0)), (\vec{j} = (0; 1)).

1. Разложение (\vec{m}):

Вектор (\vec{m} = (-9; 6)).
Разложение любого вектора ((x; y)) по базисным векторам (\vec{i}) и (\vec{j}) записывается так:
[ (x; y) = x\vec{i} + y\vec{j}. ]
Для (\vec{m} = (-9; 6)):
[ \vec{m} = -9\vec{i} + 6\vec{j}. ]

2. Разложение (\vec{n}):

Вектор (\vec{n} = (1; 0)).
Аналогично:
[ (x; y) = x\vec{i} + y\vec{j}. ]
Для (\vec{n} = (1; 0)):
[ \vec{n} = 1\vec{i} + 0\vec{j}. ]

Ответ ко второму заданию:

• (\vec{m} = -9\vec{i} + 6\vec{j}),
• (\vec{n} = 1\vec{i} + 0\vec{j}).

Итоговый ответ:

1. Координаты векторов:
   • (\vec{m} = (-9; 6)),
   • (\vec{n} = (1; 0)).
2. Разложение по (\vec{i}) и (\vec{j}):
   • (\vec{m} = -9\vec{i} + 6\vec{j}),
   • (\vec{n} = 1\vec{i} + 0\vec{j}).

Надеюсь, теперь всё стало понятно! Спасибо за ваш вопрос. 😊