Периметры подобных треугольников относятся как 2:3,сумма их площадей равна 260 квадратныхсм

Ответ: Периметры подобных треугольников относятся как 2:3, площади равны 260 квадратных см.

Вопрос о подобных треугольниках и их геометрических свойствах требует понимания некоторых ключевых аспектов геометрии. Начнем с определения подобных треугольников. Подобные треугольники — это треугольники, у которых соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны.

Дано, что периметры подобных треугольников относятся как 2:3. Пусть периметр первого треугольника равен ( P_1 ), а периметр второго треугольника равен ( P_2 ). Тогда отношение их периметров можно записать как: [ \frac{P_1}{P_2} = \frac{2}{3} ]

Из этого следует, что ( P_1 = \frac{2}{3} P_2 ).

Кроме того, известно, что сумма площадей этих треугольников равна 260 квадратных сантиметров. Пусть площади этих треугольников равны ( A_1 ) и ( A_2 ). Тогда: [ A_1 + A_2 = 260 ]

Теперь рассмотрим, как площади подобных треугольников относятся друг к другу. Поскольку треугольники подобны, отношение их площадей равно квадрату отношения их соответствующих сторон, а также квадрату отношения их периметров. Таким образом: [ \frac{A_1}{A_2} = \left( \frac{P_1}{P_2} \right)^2 ]

Подставим известное отношение периметров: [ \frac{A_1}{A_2} = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9} ]

Это означает, что ( A_1 = \frac{4}{9} A_2 ).

Теперь можно использовать уравнение ( A_1 + A_2 = 260 ) для нахождения значений ( A_1 ) и ( A_2 ). Подставим ( A_1 = \frac{4}{9} A_2 ) в уравнение: [ \frac{4}{9} A_2 + A_2 = 260 ]

Приведем к общему знаменателю: [ \frac{4}{9} A_2 + \frac{9}{9} A_2 = 260 ] [ \frac{13}{9} A_2 = 260 ]

Теперь найдем ( A_2 ): [ A_2 = 260 \times \frac{9}{13} ] [ A_2 = 180 ]

Теперь найдем ( A_1 ): [ A_1 = \frac{4}{9} \times 180 ] [ A_1 = 80 ]

Таким образом, площади треугольников равны ( A_1 = 80 ) квадратных сантиметров и ( A_2 = 180 ) квадратных сантиметров.

Периметры подобных треугольников относятся как 2:3, и сумма их площадей равна 260 квадратных сантиметров. После вычислений получаем, что площадь меньшего треугольника составляет 80 квадратных сантиметров, а площадь большего треугольника — 180 квадратных сантиметров.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами подобных фигур.

Первым шагом найдем соотношение между сторонами подобных треугольников. Пусть у первого треугольника стороны равны a, b и c, а у второго треугольника - ka, kb и kc, где k - коэффициент подобия. Тогда периметры этих треугольников будут равны a + b + c и k(a + b + c) соответственно. Из условия задачи получаем, что соотношение периметров равно 2:3, то есть a + b + c : k(a + b + c) = 2 : 3.

Разделим обе части этого соотношения и получим a + b + c = 2k(a + b + c), откуда k = 2/3. Теперь мы знаем, что стороны второго треугольника в 2/3 раза меньше сторон первого треугольника.

Далее найдем отношение площадей этих треугольников. Площадь треугольника равна 1/2 основание высоту. Пусть h - высота первого треугольника, тогда площадь первого треугольника равна 1/2 c h. Площадь второго треугольника будет равна 1/2 kc kh = k^2 1/2 c h = k^2 площадь первого треугольника.

Из условия задачи известно, что сумма площадей треугольников равна 260 квадратных см, то есть 1/2 c h + 1/2 kc kh = 260. Подставим значение k = 2/3 и получим уравнение 1/2 c h + 1/2 (2/3) c (2/3) h = 260.

Решив данное уравнение, мы найдем значения сторон и высоты треугольников. Далее можем найти периметры треугольников, используя найденные значения сторон, и убедиться в правильности полученного соотношения 2:3.