Периметры подобных треугольников относятся как 2:3,сумма их площадей равна 260 квадратныхсм

Ответ: Периметры подобных треугольников относятся как 2:3, площади равны 260 квадратных см.

Вопрос о подобных треугольниках и их геометрических свойствах требует понимания некоторых ключевых аспектов геометрии. Начнем с определения подобных треугольников. Подобные треугольники — это треугольники, у которых соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны.

Дано, что периметры подобных треугольников относятся как 2:3. Пусть периметр первого треугольника равен $P_1$, а периметр второго треугольника равен $P_2$. Тогда отношение их периметров можно записать как: $\frac{P_1}{P_2}=\frac{2}{3}$

Из этого следует, что $P_1=\frac{2}{3}{P}_2$.

Кроме того, известно, что сумма площадей этих треугольников равна 260 квадратных сантиметров. Пусть площади этих треугольников равны $A_1$ и $A_2$. Тогда: $A_1+A_2=260$

Теперь рассмотрим, как площади подобных треугольников относятся друг к другу. Поскольку треугольники подобны, отношение их площадей равно квадрату отношения их соответствующих сторон, а также квадрату отношения их периметров. Таким образом: $\frac{A_1}{A_2}={\left(\frac{P_1}{P_2}\right)}^2$

Подставим известное отношение периметров: $\frac{A_1}{A_2}={\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$

Это означает, что $A_1=\frac{4}{9}{A}_2$.

Теперь можно использовать уравнение $A_1+A_2=260$ для нахождения значений $A_1$ и $A_2$. Подставим $A_1=\frac{4}{9}{A}_2$ в уравнение: $\frac{4}{9}{A}_2+A_2=260$

Приведем к общему знаменателю: $\frac{4}{9}{A}_2+\frac{9}{9}{A}_2=260$ $\frac{13}{9}{A}_2=260$

Теперь найдем $A_2$: $A_2=260\times \frac{9}{13}$ $A_2=180$

Теперь найдем $A_1$: $A_1=\frac{4}{9}\times 180$ $A_1=80$

Таким образом, площади треугольников равны $A_1=80$ квадратных сантиметров и $A_2=180$ квадратных сантиметров.

Периметры подобных треугольников относятся как 2:3, и сумма их площадей равна 260 квадратных сантиметров. После вычислений получаем, что площадь меньшего треугольника составляет 80 квадратных сантиметров, а площадь большего треугольника — 180 квадратных сантиметров.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами подобных фигур.

Первым шагом найдем соотношение между сторонами подобных треугольников. Пусть у первого треугольника стороны равны a, b и c, а у второго треугольника - ka, kb и kc, где k - коэффициент подобия. Тогда периметры этих треугольников будут равны a + b + c и k$a+b+c$ соответственно. Из условия задачи получаем, что соотношение периметров равно 2:3, то есть a + b + c : k$a+b+c$ = 2 : 3.

Разделим обе части этого соотношения и получим a + b + c = 2k$a+b+c$, откуда k = 2/3. Теперь мы знаем, что стороны второго треугольника в 2/3 раза меньше сторон первого треугольника.

Далее найдем отношение площадей этих треугольников. Площадь треугольника равна 1/2 основание высоту. Пусть h - высота первого треугольника, тогда площадь первого треугольника равна 1/2 c h. Площадь второго треугольника будет равна 1/2 kc kh = k^2 1/2 c h = k^2 площадь первого треугольника.

Из условия задачи известно, что сумма площадей треугольников равна 260 квадратных см, то есть 1/2 c h + 1/2 kc kh = 260. Подставим значение k = 2/3 и получим уравнение 1/2 c h + 1/2 $2/3$ c $2/3$ h = 260.

Решив данное уравнение, мы найдем значения сторон и высоты треугольников. Далее можем найти периметры треугольников, используя найденные значения сторон, и убедиться в правильности полученного соотношения 2:3.