Периметры двух подобных многоугольников относятся как 1:10. Площадь меньшего многоугольника равна 9. Найдите площадь большего многоугольника.
Периметры двух подобных многоугольников относятся как 1:10. Площадь меньшего многоугольника равна 9. Найдите площадь большего многоугольника.
Площадь большего многоугольника равна 90.
Для решения задачи мы используем свойства подобных многоугольников. Подобные многоугольники имеют одинаковую форму, но их размеры могут отличаться. Один из ключевых моментов заключается в том, что коэффициент подобия ( k ) определяет, как соотносятся длины сторон, периметры и площади этих многоугольников.
Определение коэффициента подобия: Если периметры двух подобных многоугольников относятся как 1:10, то коэффициент подобия ( k ) равен 10. Это означает, что каждая сторона большего многоугольника в 10 раз длиннее соответствующей стороны меньшего многоугольника.
Связь площадей подобных многоугольников с коэффициентом подобия: Площади подобных многоугольников относятся как квадрат коэффициента подобия. То есть, если ( k ) — коэффициент подобия, то отношение площадей равно ( k^2 ).
Вычисление площади большего многоугольника: Пусть ( S_m ) — площадь меньшего многоугольника, а ( S_b ) — площадь большего многоугольника. Известно, что ( S_m = 9 ).
Используем формулу для отношения площадей: [ \frac{S_b}{S_m} = k^2 ] Подставляем известные значения: [ \frac{S_b}{9} = 10^2 ] [ \frac{S_b}{9} = 100 ] Умножаем обе части уравнения на 9: [ S_b = 100 \times 9 ] [ S_b = 900 ]
Итак, площадь большего многоугольника равна 900.
Пусть периметры меньшего и большего многоугольников равны соответственно P и 10P. Так как они подобны, то отношение площадей равно квадрату отношения их сторон:
(Площадь меньшего многоугольника) / (Площадь большего многоугольника) = (сторона меньшего многоугольника / сторона большего многоугольника)^2
9 / S = (P / 10P)^2 9 / S = (1 / 10)^2 9 / S = 1 / 100 S = 900
Таким образом, площадь большего многоугольника равна 900.
