Периметр треугольника 48,а одна из сторон 18 радиус вписанной окружности 3.Найдите площадь этого треугольника
Периметр треугольника 48,а одна из сторон 18 радиус вписанной окружности 3.Найдите площадь этого треугольника
Для нахождения площади треугольника, нужно воспользоваться формулой, связанной с радиусом вписанной окружности. Формула для площади ( S ) треугольника через радиус вписанной окружности ( r ) и полупериметр ( p ) выглядит так:
[ S = r \cdot p ]
Где ( p ) — это полупериметр треугольника, который рассчитывается как:
[ p = \frac{a + b + c}{2} ]
Дано:
Сначала найдем полупериметр ( p ):
[ p = \frac{P}{2} = \frac{48}{2} = 24 ]
Теперь можем подставить известные значения в формулу для площади:
[ S = r \cdot p = 3 \cdot 24 = 72 ]
Таким образом, площадь этого треугольника равна 72 квадратным единицам.
Чтобы убедиться в правильности решения, можно воспользоваться дополнительными проверками. Рассмотрим формулу Герона для площади треугольника:
[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} ]
Но для этого нам нужно знать все стороны треугольника. Известно, что одна из сторон ( a = 18 ), а полупериметр ( p = 24 ). Обозначим другие стороны как ( b ) и ( c ).
Из условия: [ a + b + c = 48 ] [ 18 + b + c = 48 ] [ b + c = 30 ]
Теперь воспользуемся формулой для радиуса вписанной окружности:
[ r = \frac{S}{p} ]
Подставим известные значения:
[ 3 = \frac{S}{24} ]
Отсюда:
[ S = 3 \cdot 24 = 72 ]
Так что дополнительная проверка подтверждает наш результат. Площадь треугольника действительно равна 72 квадратным единицам.
Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой для нахождения площади треугольника через радиус вписанной окружности и полупериметр треугольника.
Периметр треугольника равен сумме длин его сторон, поэтому найдем длины двух оставшихся сторон треугольника: Пусть одна из сторон треугольника равна 18, а радиус вписанной окружности равен 3. Так как радиус вписанной окружности проведен к стороне треугольника, он является высотой, а также радиусом вписанной окружности треугольника. Поэтому можем построить прямоугольный треугольник, где катетами будут радиус вписанной окружности и высота, а гипотенузой - одна из сторон треугольника. Применяя теорему Пифагора, найдем вторую сторону треугольника: a^2 = b^2 + c^2 18^2 = 3^2 + b^2 324 = 9 + b^2 b^2 = 315 b = √315 b ≈ 17.78 (округляем до 2 знаков)
Далее найдем полупериметр треугольника: p = (18 + 17.78 + 18) / 2 p ≈ 26.89
Теперь можем найти площадь треугольника по формуле: S = √(p (p - 18) (p - 17.78) (p - 18)) S = √(26.89 8.89 9.11 8.89) S = √(2097.39) S ≈ 45.79
Площадь треугольника равна приблизительно 45.79.
