Периметр прямоугольника равен 22,а диагональ равна 9.Найдите площадь этого прямоугольника.Можно подробно:у...

Давайте рассмотрим задачу подробно. У нас есть прямоугольник, у которого периметр равен 22, а диагональ равна 9. Нам нужно найти площадь этого прямоугольника.

Обозначим стороны прямоугольника как (a) и (b).

1. Периметр прямоугольника:

   Периметр (P) прямоугольника определяется формулой: [ P = 2a + 2b ] Подставляя известное значение периметра, получаем: [ 2a + 2b = 22 ] Сократим на 2: [ a + b = 11 ] Это уравнение 1.

2. Диагональ прямоугольника:

   Диагональ (d) прямоугольника определяется по теореме Пифагора: [ d = \sqrt{a^2 + b^2} ] Подставляя известное значение диагонали, получаем: [ \sqrt{a^2 + b^2} = 9 ] Возведем обе стороны уравнения в квадрат: [ a^2 + b^2 = 81 ] Это уравнение 2.

Теперь у нас есть система уравнений: [ \begin{cases} a + b = 11 \ a^2 + b^2 = 81 \end{cases} ]

1. Решение системы уравнений:

   Из первого уравнения выразим (b): [ b = 11 - a ]

   Подставим это выражение для (b) во второе уравнение: [ a^2 + (11 - a)^2 = 81 ]

   Раскроем скобки: [ a^2 + (11^2 - 2 \cdot 11 \cdot a + a^2) = 81 ] [ a^2 + 121 - 22a + a^2 = 81 ] [ 2a^2 - 22a + 121 = 81 ]

   Перенесем 81 влево: [ 2a^2 - 22a + 40 = 0 ]

   Разделим уравнение на 2: [ a^2 - 11a + 20 = 0 ]

   Решим квадратное уравнение: Дискриминант (D) равен: [ D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 121 - 80 = 41 ]

   Найдем корни: [ a_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{41}}{2} ]

   Пусть (a_1 = \frac{11 + \sqrt{41}}{2}) и (a_2 = \frac{11 - \sqrt{41}}{2}).

   Тогда соответствующие значения (b) будут: [ b_1 = 11 - a_1 = \frac{11 - \sqrt{41}}{2} ] [ b_2 = 11 - a_2 = \frac{11 + \sqrt{41}}{2} ]

   В принципе, стороны (a) и (b) могут быть переставлены местами, так как они симметричны в данном контексте.

2. Площадь прямоугольника:

   Площадь (S) прямоугольника определяется как произведение его сторон: [ S = a \cdot b ]

   Подставим (a = \frac{11 + \sqrt{41}}{2}) и (b = \frac{11 - \sqrt{41}}{2}): [ S = \left(\frac{11 + \sqrt{41}}{2}\right) \cdot \left(\frac{11 - \sqrt{41}}{2}\right) = \frac{(11 + \sqrt{41})(11 - \sqrt{41})}{4} ]

   Это выражение является разностью квадратов: [ S = \frac{11^2 - (\sqrt{41})^2}{4} = \frac{121 - 41}{4} = \frac{80}{4} = 20 ]

Таким образом, площадь данного прямоугольника равна 20.

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться следующими формулами:

1. По формуле периметра прямоугольника (P = 2(a + b)), где (a) и (b) - стороны прямоугольника, имеем: (22 = 2(a + b)).

2. По формуле диагонали прямоугольника (d = \sqrt{a^2 + b^2}), где (d) - диагональ прямоугольника, имеем: (9 = \sqrt{a^2 + b^2}).

Теперь решим систему уравнений:

1. Из первого уравнения выразим одну из сторон (например, (a)) через другую: (a = \frac{22}{2} - b), (a = 11 - b).

2. Подставим это выражение во второе уравнение: (9 = \sqrt{(11 - b)^2 + b^2}), (9 = \sqrt{121 - 22b + b^2 + b^2}), (9 = \sqrt{2b^2 - 22b + 121}), (81 = 2b^2 - 22b + 121), (2b^2 - 22b - 40 = 0), (b^2 - 11b - 20 = 0), ((b - 15)(b + 4) = 0).

Отсюда получаем два возможных значения для (b): (b = 15) или (b = -4).

Если принять положительные значения, то (a = 11 - 15 = -4), что невозможно, так как стороны прямоугольника не могут быть отрицательными. Таким образом, примем (b = 15) и (a = 11 - 15 = -4).

Теперь можем найти площадь прямоугольника по формуле (S = a \cdot b): (S = 11 \cdot 15 = 165).

Итак, площадь данного прямоугольника равна 165 квадратных единиц.