Параллельно оси цилиндра на расстоянии 2 см от нее проведена плоскость отсекающая от окружности основания...

Для решения данной задачи нам необходимо определить радиус окружности основания цилиндра. Так как отсекаемая дуга составляет 90°, то мы можем использовать свойство прямоугольного треугольника, в котором катеты равны 2 см и 6 см (расстояние от оси цилиндра и высота цилиндра), а гипотенуза будет радиусом окружности.

Используя теорему Пифагора, найдем радиус: r^2 = 2^2 + 6^2 r^2 = 4 + 36 r^2 = 40 r = √40 r = 2√10

Теперь найдем площадь сечения цилиндра. Для этого нам нужно найти длину дуги, отсекаемой плоскостью. Для дуги 90° длина равна четверти длины окружности основания цилиндра: L = (2πr)/4 L = (2π 2√10)/4 L = (π √10)/2

Площадь сечения равна площади сектора, образованного дугой, и площади прямоугольника, образованного высотой цилиндра и отсекаемой дугой: S = (1/4) πr^2 + 2 6 √10 S = (1/4) π(2√10)^2 + 12√10 S = (1/4) π 40 + 12√10 S = 10π + 12√10

Итак, площадь полученного сечения цилиндра равна 10π + 12√10 квадратных сантиметров.

Для решения этой задачи начнем с визуализации цилиндра и секущей плоскости. В основании цилиндра лежит круг, а плоскость сечения параллельна оси цилиндра и отсекает дугу 90° от окружности основания.

1. Определение радиуса основания цилиндра: Поскольку плоскость отсекает дугу в 90° и находится на расстоянии 2 см от оси цилиндра, можно предположить, что это расстояние является радиусом меньшей окружности, которая образуется в сечении цилиндра этой плоскостью. По теореме Пифагора, полный радиус ( R ) основания цилиндра найдем из условия, что хорда, соответствующая дуге 90° и высота, образованная расстоянием от центра основания до плоскости, образуют прямоугольный треугольник:

   [ R^2 = 2^2 + R^2 \Rightarrow R = 2\sqrt{2} \text{ см} ]

2. Определение формы и размеров сечения: Сечение представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра (6 см), а другая — длине дуги 90° меньшей окружности, радиус которой равен 2 см. Длина дуги окружности с радиусом ( r ) и углом ( \theta ) радианов равна ( r\theta ). Переведем градусы в радианы (90° = π/2 радианы):

   [ L = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi \text{ см} ]

3. Площадь сечения: Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Таким образом, площадь сечения равна:

   [ S = 6 \text{ см} \cdot \pi \text{ см} = 6\pi \text{ см}^2 ]

Итак, площадь сечения, параллельного оси цилиндра и отсекающего от окружности основания дугу 90° на расстоянии 2 см от оси, при высоте цилиндра 6 см, составляет ( 6\pi ) квадратных сантиметров.