Отрезок, соединяющий центр верхнего основания цилиндра с точкой на окружности нижнего основания, равен...

Для решения этой задачи нам нужно найти полную поверхность цилиндра, которая состоит из площадей двух оснований и боковой поверхности.

1. Определение данных задачи:

   • Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой на окружности нижнего основания, равен 8 см.
   • Этот отрезок наклонен к плоскости нижнего основания под углом 60°.

2. Обозначения и начальные расчеты:

   • Обозначим центр верхнего основания как ( O' ), центр нижнего основания как ( O ), а точку на окружности нижнего основания как ( A ).
   • Отрезок ( O'A ) равен 8 см.
   • Угол между отрезком ( O'A ) и плоскостью основания равен 60°.

3. Разложение отрезка ( O'A ):

   • Вертикальная проекция ( O'O ) (высота цилиндра) равна ( O'A \cdot \cos(60°) ). [ O'O = 8 \cdot \cos(60°) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \text{ см} ]
   • Горизонтальная проекция ( OA ) (радиус основания цилиндра) равна ( O'A \cdot \sin(60°) ). [ OA = 8 \cdot \sin(60°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см} ] Таким образом, радиус основания ( r = 4\sqrt{3} \text{ см} ), высота цилиндра ( h = 4 \text{ см} ).

4. Вычисление площади оснований:

   • Площадь одного основания цилиндра ( S{\text{осн}} ) равна: [ S{\text{осн}} = \pi r^2 = \pi (4\sqrt{3})^2 = \pi \cdot 48 = 48\pi \text{ см}^2 ]
   • Площадь двух оснований: [ S_{\text{двух осн}} = 2 \cdot 48\pi = 96\pi \text{ см}^2 ]

5. Вычисление площади боковой поверхности:

   • Площадь боковой поверхности ( S{\text{бок}} ) равна: [ S{\text{бок}} = 2\pi r h = 2\pi (4\sqrt{3}) \cdot 4 = 2\pi \cdot 16\sqrt{3} = 32\pi\sqrt{3} \text{ см}^2 ]

6. Вычисление полной поверхности цилиндра:

   • Полная поверхность цилиндра ( S{\text{полная}} ) равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности: [ S{\text{полная}} = S{\text{двух осн}} + S{\text{бок}} = 96\pi + 32\pi\sqrt{3} \text{ см}^2 ]

Таким образом, полная поверхность цилиндра составляет ( 96\pi + 32\pi\sqrt{3} \text{ см}^2 ).

Для нахождения полной поверхности цилиндра нужно сложить площадь боковой поверхности и площади двух оснований.

1. Найдем площадь боковой поверхности цилиндра. Для этого нам нужно найти длину образовавшегося отрезка, который соединяет центр верхнего основания цилиндра с точкой на окружности нижнего основания. Так как этот отрезок равен 8 см и наклонен под углом 60° к плоскости нижнего основания, то можно использовать теорему косинусов: l^2 = 8^2 + r^2 - 2 8 r * cos(60°) l^2 = 64 + r^2 - 16r l^2 = r^2 - 16r + 64 l = r - 8

2. Теперь найдем площадь боковой поверхности цилиндра по формуле: Sбок = 2 π r * h, где h - высота цилиндра, равная длине отрезка l, т.е. h = l = r - 8.

3. Найдем площадь двух оснований цилиндра: Sосн = 2 π r^2.

4. Итоговая площадь полной поверхности цилиндра будет равна: Sполная = Sбок + Sосн = 2 π r (r - 8) + 2 π * r^2.

5. Раскроем скобки и упростим выражение: Sполная = 2πr^2 - 16πr + 2πr^2 = 4πr^2 - 16πr.

Таким образом, полная поверхность цилиндра равна 4πr^2 - 16πr.

Чтобы найти полную поверхность цилиндра, нужно сложить площадь боковой поверхности и площадь двух оснований.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле Sб = 2πrh, где r - радиус основания, h - высота цилиндра. По условию, отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой на окружности нижнего основания, равен 8 см, а угол между этим отрезком и плоскостью нижнего основания равен 60°. Это значит, что данный отрезок является высотой цилиндра. Таким образом, h = 8 см.

Площадь боковой поверхности цилиндра будет Sб = 2π48 = 64π см².

Площадь каждого из оснований цилиндра равна площади круга, то есть Sосн = πr². Поскольку радиус основания равен 4 см, то Sосн = π*4² = 16π см². Учитывая, что у цилиндра два основания, общая площадь обоих оснований будет 2Sосн = 32π см².

Таким образом, полная поверхность цилиндра равна S = Sб + 2Sосн = 64π + 32π = 96π см².