Отрезок mn средняя линия треугольника abc параллельная стороне ab площадь треугольника amn равна 26...

Для решения задачи сначала вспомним свойства средней линии треугольника. Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. В нашем случае отрезок ( mn ) является средней линией треугольника ( ABC ), то есть ( m ) — это середина стороны ( AC ), а ( n ) — середина стороны ( BC ).

Поскольку ( mn ) — средняя линия, она параллельна стороне ( AB ) и равна половине её длины: [ mn = \frac{1}{2} AB ]

Также известно, что площадь треугольника, образованного средней линией, равна четверти площади треугольника, в котором она находится: [ S{AMN} = \frac{1}{4} S{ABC} ] где ( S{AMN} ) — площадь треугольника ( AMN ), а ( S{ABC} ) — площадь треугольника ( ABC ).

Согласно условию, площадь треугольника ( AMN ) равна 26: [ S_{AMN} = 26 ]

Теперь подставим это значение в уравнение: [ 26 = \frac{1}{4} S_{ABC} ]

Чтобы найти площадь треугольника ( ABC ), умножим обе стороны уравнения на 4: [ S_{ABC} = 26 \times 4 = 104 ]

Таким образом, площадь треугольника ( ABC ) равна 104.

Давайте подробно разберем задачу.

Условие:

• У нас есть треугольник (ABC).
• (MN) — средняя линия треугольника, параллельная стороне (AB).
• Площадь треугольника (AMN) равна (26).
• Требуется найти площадь треугольника (ABC).

Что мы знаем о средней линии треугольника?

1. Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон треугольника.
2. Средняя линия параллельна одной из сторон треугольника и равна половине длины этой стороны.
3. Если средняя линия делит треугольник на две части, то каждый из треугольников, образованных средней линией, подобен исходному треугольнику.

Свойства подобия треугольников

Поскольку (MN) параллельна (AB), треугольники (AMN) и (ABC) подобны. Коэффициент подобия определяется отношением длин сторон: [ k = \frac{MN}{AB} = \frac{1}{2}. ] То есть треугольник (AMN) имеет в 2 раза меньшие стороны, чем треугольник (ABC).

Связь площадей подобных треугольников

Если коэффициент подобия треугольников равен (k), то отношение их площадей равно (k^2). В данном случае: [ \text{Площадь } \triangle AMN = k^2 \cdot \text{Площадь } \triangle ABC. ] Подставим (k = \frac{1}{2}): [ \text{Площадь } \triangle AMN = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \text{Площадь } \triangle ABC = \frac{1}{4} \cdot \text{Площадь } \triangle ABC. ]

Вычисление площади треугольника (ABC)

Из условия задачи: [ \text{Площадь } \triangle AMN = 26. ] Подставим в формулу: [ 26 = \frac{1}{4} \cdot \text{Площадь } \triangle ABC. ] Умножим обе стороны уравнения на (4): [ \text{Площадь } \triangle ABC = 26 \cdot 4 = 104. ]

Ответ:

Площадь треугольника (ABC) равна 104.