Отрезок КА – перпендикуляр к плоскости АВС. Точка М - середина ВС. КМ перпендикулярно ВС. АВ=ВС а) Докажите,...

а) Поскольку КМ перпендикулярно ВС и является серединой отрезка ВС, то треугольник ВКМ равнобедренный (ВК=КМ) и угол ВКМ равен углу КМВ. Также, по условию, АВ=ВС, следовательно, угол КАВ равен углу ВКМ. Таким образом, у треугольника ВКМ два угла, равные друг другу, а значит, он равнобедренный. Из равнобедренности треугольника ВКМ следует, что угол КВМ равен 90 градусов. Так как КМ перпендикулярен ВС, угол КМВ равен 90 градусов. Из этого следует, что угол ВКМ равен 60 градусов. Так как у треугольника ВКМ два угла, равные друг другу, и один из них равен 60 градусов, то треугольник ВКМ равносторонний.

б) Поскольку треугольник ВКМ равносторонний, то все его стороны равны. Так как КМ перпендикулярен ВС и КА перпендикулярен плоскости АВС, то угол МКА также равен 90 градусов. Так как треугольник ВКМ равносторонний и у него есть прямой угол, то плоскость КВС перпендикулярна плоскости КАМ.

в) Площадь треугольника АВС можно найти, используя формулу Герона: S = √(p(p-AB)(p-BC)(p-CA)), где p - полупериметр треугольника (p = (AB + BC + CA)/2). Подставляя данные из условия, получаем: AB = BC = 6, CA = √39, p = (6 + 6 + √39)/2 = (12 + √39)/2 = 6 + √39/2. Тогда S = √((6 + √39/2)(6 + √39/2 - 6)(6 + √39/2 - √39)(6 + √39/2 - √39)) = √(√39(√39/2 - √39/2)) = √(√390) = 0. Таким образом, площадь треугольника АВС равна 0.

Рассмотрим задачи по геометрии, связанные с отрезком КА, перпендикулярным плоскости треугольника АВС. Точка М - середина ВС, и КМ перпендикулярно ВС. Известно, что АВ = ВС. Давайте разберем каждую часть задачи по порядку.

а) Докажите, что треугольник АВС - равносторонний.

Чтобы доказать, что треугольник АВС является равносторонним, нужно показать, что все его стороны равны.

1. По условию задачи, дано, что АВ = ВС.
2. Также, поскольку М - середина ВС, то BM = MC = ВС/2.
3. По условию задачи, КМ перпендикулярно ВС, а значит, КМ - высота треугольника АВС, проведенная из вершины К к стороне ВС.
4. Из условия, что отрезок КА перпендикулярен плоскости АВС, следует, что КА является высотой, проведенной из вершины К к плоскости треугольника АВС.

Рассмотрим треугольники АКМ и CKМ:

• В этих треугольниках есть общая сторона КМ.
• Углы АКМ и CKМ - прямые, так как КМ перпендикулярно ВС.
• Сторона КА общая для треугольников АКМ и CKМ.

Так как треугольники АКМ и CKМ имеют две равные стороны (КА и КМ) и угол между ними (прямой угол КАМ и угол КАМ), то они равны по катету и прилежащему углу. Это означает, что АК = КС.

Таким образом, все стороны треугольника АВС равны (АВ = ВС = СА), а значит, треугольник АВС является равносторонним.

б) Докажите перпендикулярность плоскостей КВС и КАМ.

Чтобы доказать перпендикулярность двух плоскостей, нужно показать, что одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости.

1. Плоскость КВС содержит прямую ВС.
2. Плоскость КАМ содержит прямую КА.
3. По условию задачи, КА перпендикулярна плоскости АВС.

Так как КМ перпендикулярно ВС, то прямая КМ лежит в плоскости КВС и образует с ВС прямой угол. Таким образом, КА, перпендикулярная плоскости АВС, и КМ, перпендикулярная прямой ВС, образуют двухперпендикулярность, что подтверждает перпендикулярность плоскостей КВС и КАМ.

в) Найдите площадь треугольника АВС, если ВК=8, КА=√39, ВС=6.

Для нахождения площади треугольника АВС воспользуемся формулой для площади равностороннего треугольника. Но для начала найдем высоту треугольника АВС.

Так как ВС = 6, то М - середина ВС, а значит, BM = MC = 3.

Рассмотрим треугольник ВКМ. В этом треугольнике:

• ВК = 8 (гипотенуза),
• BM = 3 (один катет).

По теореме Пифагора найдем второй катет КМ: [ KM = \sqrt{VK^2 - BM^2} = \sqrt{8^2 - 3^2} = \sqrt{64 - 9} = \sqrt{55} ]

Теперь найдем высоту треугольника АВС, которая совпадает с высотой равностороннего треугольника, проведенной к стороне ВС. В равностороннем треугольнике высота h делит его на два прямоугольных треугольника с катетами h и b/2 (где b - сторона треугольника).

В данном случае: [ h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} ]

Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: [ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 ]

Подставим значение стороны a = 6: [ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9\sqrt{3} ]

Таким образом, площадь треугольника АВС равна (9\sqrt{3}) квадратных единиц.