Отрезки КМ и NP пересекаются в точке О так, что KN=MP и KN// MP. Докажите, что KP//MN, // - параллельно...

Дано: отрезки КМ и NP пересекаются в точке О, при этом KN=MP и KN // MP.

Доказательство:

1. Так как KN // MP и KN=MP, то треугольники KNO и MPO подобны по стороне-углу-стороне.
2. Из подобия треугольников следует, что углы KNO и MPO равны по величине.
3. Так как углы KNO и MNP смежные, то они также равны.
4. Отсюда следует, что отрезки KP и MN параллельны, так как углы между параллельными прямыми равны.

Таким образом, доказано, что KP // MN.

Для доказательства того, что ( KP \parallel MN ), используя условия задачи ( KN = MP ) и ( KN \parallel MP ), поступим следующим образом:

1. Обозначения и условия:

   • Пусть отрезки ( KM ) и ( NP ) пересекаются в точке ( O ).
   • Дано, что ( KN = MP ) и ( KN \parallel MP ).
   • Нужно доказать, что ( KP \parallel MN ).

2. Треугольники: Рассмотрим треугольники ( KNO ) и ( MPO ).

3. Параллельность и равенство отрезков:

   • По условию ( KN \parallel MP ), следовательно, углы при пересечении этих отрезков с отрезком ( KM ) равны: ( \angle KNO = \angle MPO ) (соответственные углы при параллельных прямых и секущей).
   • Также известно, что ( KN = MP ).

4. Равенство треугольников:

   • В треугольниках ( KNO ) и ( MPO ) имеем: [ \begin{cases} KN = MP & \text{(по условию)} \ \angle KNO = \angle MPO & \text{(соответственные углы при параллельных прямых и секущей)} \end{cases} ]
   • Также ( \angle NKO = \angle MPO ) (вертикальные углы).
   • Следовательно, треугольники ( KNO ) и ( MPO ) равны по первому признаку равенства треугольников (по двум углам и стороне между ними).

5. Параллельность отрезков:

   • Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны.
   • В частности, ( KO = MO ) и ( NO = PO ).
   • Рассмотрим углы ( \angle KOP ) и ( \angle NOM ). Они являются соответственными углами при пересечении прямых ( KP ) и ( MN ) секущей ( KO ).
   • Так как ( \angle KOP = \angle NOM ) (поскольку эти углы являются частью равных треугольников), то по признаку параллельности прямых (если соответственные углы равны, то прямые параллельны), получаем, что ( KP \parallel MN ).

Таким образом, ( KP \parallel MN ) доказано.

Доказательство:

Из условия KN=MP и KN//MP следует, что треугольники KNO и MPO подобны по стороне-прилежащей.

Также, по теореме о параллельных линиях, углы KNO и MPO равны, так как они соответственные.

Из подобия треугольников следует, что углы KON и MOP равны.

Таким образом, по теореме о параллельных линиях следует, что KP//MN.

Доказательство завершено.