Отрезки КМ и NP пересекаются в точке О так, что KN=MP и KN// MP. Докажите, что KP//MN, // - параллельно...

Дано: отрезки КМ и NP пересекаются в точке О, при этом KN=MP и KN // MP.

Доказательство:

1. Так как KN // MP и KN=MP, то треугольники KNO и MPO подобны по стороне-углу-стороне.
2. Из подобия треугольников следует, что углы KNO и MPO равны по величине.
3. Так как углы KNO и MNP смежные, то они также равны.
4. Отсюда следует, что отрезки KP и MN параллельны, так как углы между параллельными прямыми равны.

Таким образом, доказано, что KP // MN.

Для доказательства того, что $KP\parallel MN$, используя условия задачи $KN=MP$ и $KN\parallel MP$, поступим следующим образом:

1. Обозначения и условия:

   • Пусть отрезки $KM$ и $NP$ пересекаются в точке $O$.
   • Дано, что $KN=MP$ и $KN\parallel MP$.
   • Нужно доказать, что $KP\parallel MN$.

2. Треугольники: Рассмотрим треугольники $KNO$ и $MPO$.

3. Параллельность и равенство отрезков:

   • По условию $KN\parallel MP$, следовательно, углы при пересечении этих отрезков с отрезком $KM$ равны: $\mathrm{\angle }KNO=\mathrm{\angle }MPO$ $соответственныеуглыприпараллельныхпрямыхисекущей$.
   • Также известно, что $KN=MP$.

4. Равенство треугольников:

   • В треугольниках $KNO$ и $MPO$ имеем: $\{\begin{array}{lll}KN=MP& \text{(по условию)}\mathrm{\angle }KNO=\mathrm{\angle }MPO& \text{(соответственные углы при параллельных прямых и секущей)}\end{array}$
   • Также $\mathrm{\angle }NKO=\mathrm{\angle }MPO$ $вертикальныеуглы$.
   • Следовательно, треугольники $KNO$ и $MPO$ равны по первому признаку равенства треугольников $подвумугламисторонемеждуними$.

5. Параллельность отрезков:

   • Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны.
   • В частности, $KO=MO$ и $NO=PO$.
   • Рассмотрим углы $\mathrm{\angle }KOP$ и $\mathrm{\angle }NOM$. Они являются соответственными углами при пересечении прямых $KP$ и $MN$ секущей $KO$.
   • Так как $\mathrm{\angle }KOP=\mathrm{\angle }NOM$ $посколькуэтиуглыявляютсячастьюравныхтреугольников$, то по признаку параллельности прямых $еслисоответственныеуглыравны,топрямыепараллельны$, получаем, что $KP\parallel MN$.

Таким образом, $KP\parallel MN$ доказано.

Доказательство:

Из условия KN=MP и KN//MP следует, что треугольники KNO и MPO подобны по стороне-прилежащей.

Также, по теореме о параллельных линиях, углы KNO и MPO равны, так как они соответственные.

Из подобия треугольников следует, что углы KON и MOP равны.

Таким образом, по теореме о параллельных линиях следует, что KP//MN.

Доказательство завершено.