Отрезки EF и РД пересекаются в их середине М. Докажите, что PE || ДF.

Для доказательства того, что отрезки PE и DF параллельны, рассмотрим треугольники PEM и DFM.

Поскольку точка М является серединой отрезков EF и RD, то отрезки EM и MF равны (так как M делит каждый из них пополам). Также известно, что отрезки EM и DM равны, так как они являются общими сторонами треугольников PEM и DFM.

Из равенства отрезков EM и MF следует, что углы PEM и DFM равны (по стороне-уголу-стороне). Таким образом, углы PEM и DFM являются соответственно вертикальными (они оба равны углам EMF и FMD).

Из равенства вертикальных углов следует, что прямые PE и DF параллельны (если две прямые пересекаются, образуя вертикальные углы, то они параллельны).

Таким образом, отрезки PE и DF параллельны, что и требовалось доказать.

Для доказательства того, что отрезки PE и DF параллельны, можно использовать свойство средней линии треугольника. Посмотрим на треугольники, образованные этими отрезками и их расположением.

1. Так как отрезки EF и PD пересекаются в их середине M, можно утверждать, что M является серединой каждого из этих отрезков. Это значит, что ME = MF и MP = MD.

2. Рассмотрим треугольник EPD. Так как M - середина отрезка PD (MP = MD), и M также лежит на отрезке EF, то отрезок EM является средней линией этого треугольника.

3. Средняя линия треугольника всегда параллельна основанию треугольника, к которому она не принадлежит. В треугольнике EPD средняя линия EM параллельна основанию PE.

4. Аналогично для треугольника FPD, отрезок FM является средней линией, и он параллелен основанию DF.

5. Так как ME = MF и оба эти отрезка параллельны соответственно PE и DF, то следует, что PE параллелен DF.

Итак, мы доказали, что отрезки PE и DF параллельны, используя свойство средней линии треугольника и факт, что точка M является серединой двух отрезков, пересекающихся в ней.

Так как отрезки EF и РD пересекаются в точке М, то по теореме о параллельности диагоналей в четырехугольнике получаем, что PE || DF.