Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат; диагональ параллелепипеда равна 2√6 см,а его...

Для решения данной задачи начнем с пункта а).

а) Находим измерения параллелепипеда:

Из условия задачи известно, что основание параллелепипеда является квадратом, а измерения относятся как 1:1:2. Обозначим сторону основания квадрата как ( a ), а высоту параллелепипеда как ( 2a ) (по условию она в два раза больше стороны квадрата).

Диагональ ( d ) прямоугольного параллелепипеда со сторонами ( a ), ( a ) и ( 2a ) найдем по формуле: [ d = \sqrt{a^2 + a^2 + (2a)^2} = \sqrt{2a^2 + 4a^2} = \sqrt{6a^2} = a\sqrt{6}. ] По условию задачи диагональ равна ( 2\sqrt{6} ) см. Приравниваем: [ a\sqrt{6} = 2\sqrt{6}. ] Отсюда: [ a = 2 ] см.

Таким образом, измерения параллелепипеда: ( 2 ) см, ( 2 ) см и ( 4 ) см.

б) Находим синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания:

Угол ( \theta ) между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания будет также углом между диагональю и высотой параллелепипеда. Здесь удобно использовать векторный подход или геометрическое представление.

Диагональ в основании (квадрате) равна ( \sqrt{2a^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} ) см. Это, в свою очередь, является одной из сторон прямоугольного треугольника, где гипотенуза ( d = 2\sqrt{6} ) см, а другой катет (высота параллелепипеда) равен ( 4 ) см.

Используя определение синуса (отношение противолежащего катета к гипотенузе), находим: [ \sin \theta = \frac{\text{высота параллелепипеда}}{\text{диагональ параллелепипеда}} = \frac{4}{2\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}. ]

Итак, синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания равен ( \frac{\sqrt{6}}{3} ).

а) Пусть сторона основания квадрата параллелепипеда равна a, тогда его измерения будут составлять a:a:2a. Так как диагональ параллелепипеда равна 2√6, то мы можем составить уравнение по теореме Пифагора:

(2a)² + a² = (2√6)² 4a² + a² = 24 5a² = 24 a² = 24/5 a = √(24/5) = 2√6/√5 = 2√30/5 = 2√6/5

Таким образом, измерения параллелепипеда будут равны 2√6/5:2√6/5:4√6/5 см.

б) Для нахождения синуса угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания воспользуемся формулой:

sin(θ) = противолежащий катет / гипотенуза

где противолежащий катет это половина диагонали основания, равный √6, а гипотенуза это диагональ параллелепипеда, равная 2√6. Подставляем значения:

sin(θ) = √6 / 2√6 sin(θ) = 1/2

Ответ: синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания равен 1/2.