Основанием прямой призмы ABCD A1B1C1D1 является параллелограмм ABCD со сторонами 6 см и 6√3 см и углом,...

Чтобы найти площадь боковой поверхности прямой призмы, нам нужно определить периметр основания и высоту призмы.

1. Нахождение высоты призмы: Диагональ AC1 призмы образует с плоскостью основания угол в 60 градусов. Для того чтобы найти высоту призмы, обозначим ее через ( h ) и воспользуемся тригонометрией.

   Рассмотрим треугольник ( ACC_1 ). В этом треугольнике ( AC ) — диагональ основания, а ( AC_1 ) — диагональ призмы.

   Так как диагональ AC1 образует с плоскостью основания угол 60 градусов, то: [ \cos(60^\circ) = \frac{AC}{AC_1} ] [ \frac{1}{2} = \frac{AC}{AC_1} ] [ AC_1 = 2 \cdot AC ]

   Теперь найдем длину диагонали ( AC ) в основании: Основание призмы — параллелограмм ABCD со сторонами 6 см и ( 6\sqrt{3} ) см и углом 30 градусов. Используем формулу для диагонали параллелограмма: [ AC = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos(\theta)} ] где ( a = 6 ) см, ( b = 6\sqrt{3} ) см и ( \theta = 30^\circ ).

   Подставим значения: [ AC = \sqrt{6^2 + (6\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6\sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ)} ] [ AC = \sqrt{36 + 108 - 72\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} ] [ AC = \sqrt{36 + 108 - 72 \cdot \frac{3}{2}} ] [ AC = \sqrt{36 + 108 - 108} ] [ AC = \sqrt{36} = 6 \text{ см} ]

   Подставим эту длину в наше уравнение для диагонали ( AC_1 ): [ AC_1 = 2 \cdot 6 = 12 \text{ см} ]

   Теперь найдем высоту призмы: В треугольнике ( ACC_1 ) ( AC_1 ) является гипотенузой, ( AC ) — одним из катетов, а ( h ) — другим катетом: [ h = \sqrt{AC_1^2 - AC^2} = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \text{ см} ]

2. Нахождение периметра основания: Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон: [ P = 2(a + b) = 2(6 + 6\sqrt{3}) = 12 + 12\sqrt{3} ]

3. Нахождение площади боковой поверхности: Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы: [ S\text{бок} = P \cdot h = (12 + 12\sqrt{3}) \cdot 6\sqrt{3} ] Раскроем скобки: [ S\text{бок} = 12 \cdot 6\sqrt{3} + 12\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3} = 72\sqrt{3} + 72 \cdot 3 = 72\sqrt{3} + 216 ]

Итак, площадь боковой поверхности призмы составляет: [ 72\sqrt{3} + 216 \text{ квадратных сантиметров} ]

Для решения данной задачи нам необходимо вычислить высоту призмы и длину боковой стороны.

По условию, угол между диагональю AC1 и плоскостью основания равен 60 градусов. Так как угол между диагональю и боковой стороной призмы равен 90 градусов (прямой угол), то мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник AC1H, где H - проекция точки H перпендикулярно основанию призмы на плоскость основания.

Таким образом, мы можем найти высоту призмы по формуле h = AC1 sin 60° = 6√3 0.866 = 5.196 см.

Далее, рассмотрим боковую сторону призмы. Она равна диагонали A1C1, которая является гипотенузой прямоугольного треугольника A1HC1, где H - проекция точки H перпендикулярно основанию призмы на плоскость основания.

Для нахождения длины боковой стороны призмы применим теорему Пифагора: (A1C1)^2 = (AC1)^2 + (h)^2, откуда (A1C1)^2 = (6)^2 + (6√3)^2 = 36 + 108 = 144, следовательно, A1C1 = 12 см.

Теперь можем найти площадь боковой поверхности призмы, суммируя площади всех боковых сторон. Поскольку у призмы все боковые стороны равны, площадь боковой поверхности равна периметру основания, умноженному на высоту призмы: Sбок = 4 6√3 5.196 = 124.7 см^2.