Основание прямой призмы — треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом равным 120° между ними. Наибольшая...

Для начала найдем площадь боковой грани прямоугольной призмы. Площадь боковой грани прямоугольной призмы равна произведению периметра основания на высоту. Периметр треугольника можно найти, сложив длины его сторон: 5 + 3 + 5 = 13 см. Таким образом, периметр основания равен 13 см. Высота призмы равна произведению одной из сторон основания на синус угла между этой стороной и боковой гранью: h = 5 sin 120° = 5 √3 / 2 = 5√3 / 2 = 5√3 / 2 см. Теперь можем найти площадь одной боковой грани: Sб = 13 5√3 / 2 = 65√3 / 2 см^2. Так как наибольшая из площадей боковых граней равна 56 см^2, то найдем коэффициент подобия, равный 56 / (65√3 / 2) ≈ 0,691. Теперь можем найти площадь полной поверхности призмы, умножив площадь одной боковой грани на количество боковых граней: Sп = 6 Sб = 6 65√3 / 2 0,691 ≈ 179,5 см^2. Ответ: площадь полной поверхности призмы равна примерно 179,5 см^2.

Рассмотрим прямую призму, основание которой — треугольник со сторонами 5 см и 3 см, а угол между этими сторонами равен 120°. Нам нужно найти площадь полной поверхности призмы, зная, что наибольшая из площадей боковых граней равна 56 см².

Шаг 1: Вычисление площади основания треугольника

Для начала найдем площадь треугольника, который является основанием призмы. Мы знаем две его стороны и угол между ними. Площадь треугольника с двумя сторонами (a) и (b) и углом (\gamma) между ними можно найти по формуле: [ S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma) ]

Подставим известные значения: [ a = 5 \text{ см}, \, b = 3 \text{ см}, \, \gamma = 120^\circ ]

Зная, что (\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}), получаем: [ S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15 \sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 ]

Шаг 2: Определение высоты призмы

Теперь определим высоту призмы (h). Наибольшая из боковых граней имеет площадь 56 см². Боковая грань прямой призмы представляет собой прямоугольник, одна из сторон которого равна высоте призмы, а другая — стороне основания треугольника. Рассмотрим каждую боковую грань:

1. Грань с основанием 5 см: [ Площадь этой грани = 5h ]
2. Грань с основанием 3 см: [ Площадь этой грани = 3h ]
3. Грань с третьей стороной треугольника (найдем позже): [ Площадь этой грани = c \cdot h ]

Из условия, что наибольшая из площадей боковых граней равна 56 см², следует: [ 5h = 56 ] [ h = \frac{56}{5} = 11.2 \text{ см} ]

Шаг 3: Нахождение третьей стороны треугольника

Для нахождения третьей стороны треугольника (c) используем теорему косинусов: [ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) ] [ c^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos(120^\circ) ]

Так как (\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}), получаем: [ c^2 = 25 + 9 + 15 = 49 ] [ c = \sqrt{49} = 7 \text{ см} ]

Шаг 4: Вычисление площади боковых граней

Теперь вычислим площади всех боковых граней:

• Первая грань: ( 5 \times 11.2 = 56 \text{ см}^2 )
• Вторая грань: ( 3 \times 11.2 = 33.6 \text{ см}^2 )
• Третья грань: ( 7 \times 11.2 = 78.4 \text{ см}^2 )

Шаг 5: Вычисление площади полной поверхности призмы

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей двух оснований и всех боковых граней: [ S{\text{полн}} = 2 \times S{\text{осн}} + S{\text{бок}} ] [ S{\text{осн}} = \frac{15 \sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 ]

Площадь боковой поверхности: [ S_{\text{бок}} = 56 + 33.6 + 78.4 = 168 \text{ см}^2 ]

В итоге: [ S{\text{полн}} = 2 \times \frac{15 \sqrt{3}}{4} + 168 ] [ S{\text{полн}} = \frac{30 \sqrt{3}}{4} + 168 ] [ S_{\text{полн}} = 7.5 \sqrt{3} + 168 \text{ см}^2 ]

Площадь полной поверхности призмы равна (7.5 \sqrt{3} + 168 \text{ см}^2), что является окончательным ответом.