Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наибольшая боковая грань – квадрат.
Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наибольшая боковая грань – квадрат.
Для решения задачи начнем с анализа основания прямой призмы, которое является прямоугольным треугольником с катетами 6 см и 8 см. Воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения гипотенузы этого треугольника:
[ c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}. ]
Указано, что наибольшая боковая грань призмы является квадратом. Это означает, что высота призмы (обозначим её как ( h )) равна длине стороны этой боковой грани, то есть ( h ). Так как эта грань является квадратом, следовательно, её сторона равна гипотенузе основания треугольника, то есть ( h = 10 ) см.
Боковая поверхность прямой призмы состоит из трех прямоугольников, каждый из которых имеет высоту, равную высоте призмы, а ширину, равную одной из сторон треугольника (двум катетам и одной гипотенузе). Площади этих прямоугольников будут следующими:
Первая грань (со стороной, равной одному из катетов 6 см): [ S_1 = 6 \text{ см} \times 10 \text{ см} = 60 \text{ см}^2. ]
Вторая грань (со стороной, равной другому катету 8 см): [ S_2 = 8 \text{ см} \times 10 \text{ см} = 80 \text{ см}^2. ]
Третья грань (со стороной, равной гипотенузе 10 см): [ S_3 = 10 \text{ см} \times 10 \text{ см} = 100 \text{ см}^2. ]
Суммарная площадь боковой поверхности призмы будет равна сумме площадей этих трех прямоугольников: [ S_{\text{боковая}} = S_1 + S_2 + S_3 = 60 \text{ см}^2 + 80 \text{ см}^2 + 100 \text{ см}^2 = 240 \text{ см}^2. ]
Таким образом, площадь боковой поверхности данной призмы составляет 240 квадратных сантиметров.
Для начала найдем гипотенузу прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: a^2 + b^2 = c^2 6^2 + 8^2 = c^2 36 + 64 = c^2 100 = c^2 c = 10 см
Так как наибольшая боковая грань прямоугольной призмы - квадрат, то сторона этого квадрата равна гипотенузе треугольника, т.е. 10 см.
Теперь найдем площадь боковой поверхности призмы. Поскольку боковая поверхность призмы состоит из двух прямоугольников и двух квадратов, то площадь боковой поверхности можно найти по формуле: S = 2 (площадь прямоугольника) + 2 (площадь квадрата)
Площадь прямоугольника: Sпр = a h = 6 10 = 60 см^2
Площадь квадрата: Sкв = a^2 = 10^2 = 100 см^2
Теперь подставим найденные значения в формулу для нахождения площади боковой поверхности призмы: S = 2 60 + 2 100 = 120 + 200 = 320 см^2
Итак, площадь боковой поверхности данной призмы равна 320 квадратных сантиметров.
