Основание пирамиды-треугольник со сторонами 20 см,21 см,29 см.Боковые грани пирамиды образуют с плоскостью...

Для нахождения высоты пирамиды, основание которой является треугольником со сторонами 20 см, 21 см и 29 см, а боковые грани образуют с плоскостью основания углы в 45°, можно воспользоваться следующими шагами:

1. Нахождение площади основания треугольника: Основание пирамиды – треугольник со сторонами 20 см, 21 см и 29 см. Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой Герона.

   Сначала найдем полупериметр ( p ): [ p = \frac{20 + 21 + 29}{2} = 35 \text{ см} ]

   Теперь найдем площадь ( S ) треугольника по формуле Герона: [ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} ] где ( a = 20 ) см, ( b = 21 ) см, ( c = 29 ) см.

   Подставляем значения: [ S = \sqrt{35(35-20)(35-21)(35-29)} = \sqrt{35 \times 15 \times 14 \times 6} ]

   Вычислим это: [ S = \sqrt{35 \times 15 \times 14 \times 6} = \sqrt{15750} \approx 125.8 \text{ см}^2 ]

2. Нахождение высоты пирамиды: Из условия задачи известно, что углы между боковыми гранями пирамиды и плоскостью основания равны 45°. Это означает, что высота боковой грани равна длине проекции этой грани на плоскость основания.

   Обозначим высоту пирамиды как ( h ). Поскольку угол между боковой гранью и основанием равен 45°, то можно записать: [ h = L \cdot \sin(45^\circ) = L \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} ] где ( L ) – длина боковой грани.

   Нам необходимо найти ( L ) – длину боковой грани, которая опирается на основание треугольника. Рассмотрим, например, боковую грань, которая опирается на основание с длиной 29 см.

3. Нахождение длины боковой грани: Для нахождения ( L ) можно воспользоваться теоремой Пифагора в треугольнике, образованном высотой пирамиды, половиной основания и боковой гранью.

   Обозначим половину основания, соответствующего стороне 29 см, как ( \frac{29}{2} = 14.5 ) см. Теперь мы можем записать: [ L^2 = h^2 + (14.5)^2 ]

   Также из предыдущего шага мы знаем, что: [ h = L \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} ]

   Подставим ( h ) в уравнение для ( L ): [ L^2 = \left(L \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 14.5^2 ] [ L^2 = \frac{L^2}{2} + 210.25 ] Умножим уравнение на 2 для удобства: [ 2L^2 = L^2 + 420.5 ] [ L^2 = 420.5 ] [ L = \sqrt{420.5} \approx 20.5 \text{ см} ]

4. Нахождение высоты ( h ): Теперь подставим значение ( L ) в формулу для ( h ): [ h = L \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 20.5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 20.5 \cdot 0.7071 \approx 14.5 \text{ см} ]

Таким образом, высота пирамиды составляет примерно ( 14.5 ) см.

Для решения задачи необходимо определить высоту пирамиды, опираясь на заданные параметры. Рассмотрим решение пошагово.

Шаг 1. Площадь основания пирамиды

Основание пирамиды — это треугольник со сторонами ( a = 20 \, \text{см} ), ( b = 21 \, \text{см} ) и ( c = 29 \, \text{см} ). Чтобы найти его площадь, сначала вычислим полупериметр треугольника:

[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{20 + 21 + 29}{2} = 35 \, \text{см}. ]

Теперь используем формулу Герона для площади треугольника:

[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}. ]

Подставим значения:

[ S = \sqrt{35(35 - 20)(35 - 21)(35 - 29)} = \sqrt{35 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 6}. ]

Упростим выражение под корнем:

[ S = \sqrt{35 \cdot (15 \cdot 14 \cdot 6)} = \sqrt{35 \cdot 1260}. ]

Рассчитаем:

[ S = \sqrt{44100} = 210 \, \text{см}^2. ]

Таким образом, площадь основания треугольника равна ( S = 210 \, \text{см}^2 ).

Шаг 2. Высота боковых граней пирамиды

Боковые грани пирамиды наклонены под углом ( 45^\circ ) к плоскости основания. Это означает, что высоты боковых граней (перпендикуляры, опущенные из вершины пирамиды на стороны треугольника) равны длинам проекций этих высот на плоскость основания.

Кроме того, в основании каждой боковой грани лежат стороны треугольника основания (( 20 \, \text{см} ), ( 21 \, \text{см} ), ( 29 \, \text{см} )). Вершина пирамиды находится над центром основания (ортогонально), так как углы наклона всех боковых граней одинаковы.

Шаг 3. Высота пирамиды

Так как вершина пирамиды находится над центром описанной окружности треугольника основания (из-за равенства углов наклона всех боковых граней), нам нужно найти радиус описанной окружности ( R ) для треугольника основания.

Формула для радиуса описанной окружности треугольника:

[ R = \frac{abc}{4S}, ]

где ( a, b, c ) — стороны треугольника, а ( S ) — его площадь. Подставим значения:

[ R = \frac{20 \cdot 21 \cdot 29}{4 \cdot 210}. ]

Упростим выражение:

[ R = \frac{12180}{840} = 14.5 \, \text{см}. ]

Таким образом, радиус описанной окружности равен ( R = 14.5 \, \text{см} ).

Вершина пирамиды находится на высоте, которая образует прямоугольный треугольник с радиусом ( R ) и высотой боковой грани. Поскольку угол наклона боковой грани равен ( 45^\circ ), высота пирамиды равна радиусу ( R ):

[ h = R = 14.5 \, \text{см}. ]

Ответ:

Высота пирамиды равна ( \mathbf{14.5 \, \text{см}} ).

Чтобы найти высоту пирамиды, сначала найдем площадь основания (треугольника со сторонами 20 см, 21 см и 29 см) с помощью формулы Герона.

1. Полупериметр ( p = \frac{20 + 21 + 29}{2} = 35 ) см.
2. Площадь ( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} ), где ( a = 20 ), ( b = 21 ), ( c = 29 ):

[ S = \sqrt{35(35-20)(35-21)(35-29)} = \sqrt{35 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 6} = \sqrt{3150} \approx 56.12 \text{ см}^2. ]

Теперь, зная, что боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания углы 45°, можем найти высоту пирамиды. Высота ( h ) связана с длиной отрезка, перпендикулярного плоскости основания, по формуле:

[ h = \text{длина боковой грани} \cdot \sin(45°). ]

Так как боковые грани пересекают высоту основания, и угол 45° означает, что высота равна длине отрезка, проведенного из вершины пирамиды до центра основания:

[ h = \sqrt{\frac{2S}{b}} = \sqrt{2 \cdot 56.12} \approx \sqrt{112.24} \approx 10.59 \text{ см}. ]

Таким образом, высота пирамиды составляет примерно 10.59 см.