Основание пирамиды служит равнобедренный треугольник ABC, в котором AB=BC=13см, AC=10см, каждое боковое...

Для начала давайте разберёмся с основанием пирамиды, которым является равнобедренный треугольник (ABC). Даны следующие стороны: (AB = BC = 13 \text{ см}) и (AC = 10 \text{ см}).

Шаг 1: Найдём высоту треугольника (ABC)

Поскольку треугольник равнобедренный, высота (BD) из вершины (B) на основание (AC) будет также медианой и биссектрисой. Обозначим точку пересечения высоты с основанием как (D).

Поскольку (D) — середина (AC), то: [ AD = DC = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см} ]

Теперь, чтобы найти высоту (BD), применим теорему Пифагора в треугольнике (ABD): [ AB^2 = AD^2 + BD^2 ] [ 13^2 = 5^2 + BD^2 ] [ 169 = 25 + BD^2 ] [ BD^2 = 144 ] [ BD = \sqrt{144} = 12 \text{ см} ]

Шаг 2: Площадь треугольника (ABC)

Площадь треугольника можно найти по формуле: [ S = \frac{1}{2} \times AC \times BD ] [ S = \frac{1}{2} \times 10 \text{ см} \times 12 \text{ см} ] [ S = 60 \text{ см}^2 ]

Шаг 3: Найдём высоту пирамиды

Каждое боковое ребро пирамиды образует с её высотой угол 30 градусов. Пусть (H) — высота пирамиды, а (P) — вершина пирамиды.

Зная, что высота (H) и боковое ребро образуют угол 30 градусов, можем использовать тригонометрическое соотношение. Пусть (S) — длина бокового ребра.

[ \cos(30^\circ) = \frac{H}{S} ] [ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{H}{S} ] [ H = S \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ]

Шаг 4: Найдём длину бокового ребра (S)

Для нахождения (S) используем треугольник (BPC), где (BP = S), и (BD) является высотой, опущенной на основание (AC), и (P) — вершина пирамиды. В этом треугольнике (BPC) также действует теорема Пифагора: [ BP^2 = BD^2 + DP^2 ] [ S^2 = BD^2 + H^2 ]

Подставим значения: [ S^2 = 12^2 + \left(S \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 ] [ S^2 = 144 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} S\right)^2 ] [ S^2 = 144 + \frac{3}{4} S^2 ] [ S^2 - \frac{3}{4} S^2 = 144 ] [ \frac{1}{4} S^2 = 144 ] [ S^2 = 144 \cdot 4 ] [ S^2 = 576 ] [ S = \sqrt{576} ] [ S = 24 \text{ см} ]

Теперь можем найти высоту пирамиды (H): [ H = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ H = 24 \cdot \frac{1.732}{2} ] [ H = 24 \cdot 0.866 ] [ H = 20.784 \text{ см} \approx 20.8 \text{ см} ]

Шаг 5: Объём пирамиды

Объём пирамиды вычисляется по формуле: [ V = \frac{1}{3} \times S_{основания} \times H ] [ V = \frac{1}{3} \times 60 \text{ см}^2 \times 20.8 \text{ см} ] [ V = \frac{1}{3} \times 1248 \text{ см}^3 ] [ V = 416 \text{ см}^3 ]

Таким образом, объём пирамиды составляет (416 \text{ см}^3).

Для вычисления объема пирамиды с равнобедренным треугольным основанием необходимо знать площадь основания и высоту пирамиды.

Площадь равнобедренного треугольника ABC можно найти, используя формулу площади треугольника через стороны и угол между ними: S = 0.5 AB AC sin(угол между сторонами). Подставим данные: S = 0.5 13 10 sin(30) = 32.5 кв.см.

Высоту пирамиды можно найти, используя теорему косинусов в треугольнике ABC, где AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB BC cos(угол между сторонами). Подставим данные и найдем высоту: 10^2 = 13^2 + 13^2 - 2 13 13 cos(30). Решив уравнение, получим высоту равную 5√3 см.

Теперь, имея площадь основания и высоту пирамиды, можем найти объем пирамиды по формуле: V = (1/3) S h = (1/3) 32.5 5√3 ≈ 56.43 куб.см.

Таким образом, объем пирамиды с данными характеристиками составляет примерно 56.43 кубических сантиметра.