Основания трапеции равны 12 см и 18 см, а диагонали – 15 см и 25 см. Найдите отрезки диагоналей, на...

Отрезки диагоналей, на которые каждая из них делится точкой пересечения, равны 10 см и 15 см.

Рассмотрим трапецию ( ABCD ) с основаниями ( AB = 18 ) см и ( CD = 12 ) см, а диагоналями ( AC = 25 ) см и ( BD = 15 ) см. Нужно найти отрезки, на которые каждая из диагоналей делится точкой пересечения ( O ).

Для этого будем использовать теорему о пропорциональных отрезках диагоналей трапеции, которая гласит, что отрезки диагоналей, на которые они делятся точкой пересечения, пропорциональны основаниям трапеции. В частности, если точка пересечения делит диагонали на отрезки ( AO ) и ( CO ) на диагонали ( AC ) и ( BO ) и ( DO ) на диагонали ( BD ), то:

[ \frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{CD} ]

Обозначим отрезки следующим образом:

• ( AO = x )
• ( OC = 25 - x )
• ( BO = y )
• ( OD = 15 - y )

Согласно теореме о пропорциональных отрезках:

[ \frac{x}{25 - x} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} ]

Решим это уравнение для ( x ):

[ \frac{x}{25 - x} = \frac{3}{2} ]

[ 2x = 3(25 - x) ]

[ 2x = 75 - 3x ]

[ 2x + 3x = 75 ]

[ 5x = 75 ]

[ x = 15 ]

Таким образом, ( AO = 15 ) см и ( OC = 25 - 15 = 10 ) см.

Теперь для отрезков ( y ) и ( 15 - y ):

[ \frac{y}{15 - y} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} ]

Решим это уравнение для ( y ):

[ \frac{y}{15 - y} = \frac{3}{2} ]

[ 2y = 3(15 - y) ]

[ 2y = 45 - 3y ]

[ 2y + 3y = 45 ]

[ 5y = 45 ]

[ y = 9 ]

Таким образом, ( BO = 9 ) см и ( OD = 15 - 9 = 6 ) см.

Итак, отрезки диагоналей, на которые каждая из них делится точкой пересечения, равны:

• ( AO = 15 ) см, ( OC = 10 ) см
• ( BO = 9 ) см, ( OD = 6 ) см

Для решения данной задачи воспользуемся свойством трапеции: диагонали трапеции делятся друг на друга пополам.

Обозначим отрезки диагоналей, на которые каждая из них делится точкой пересечения, как x и y. Тогда по свойству пополам:

x = 15 / 2 = 7.5 см y = 25 / 2 = 12.5 см

Таким образом, отрезок диагонали, который делится точкой пересечения на 7.5 см и 12.5 см.