Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 18 см, а диагональ является биссектрисой её острого угла....

Для решения данной задачи нам необходимо найти высоту трапеции, а затем уже по формуле нахождения площади трапеции вычислить искомое значение.

Итак, по условию известно, что основания трапеции равны 12 см и 18 см, а диагональ является биссектрисой её острого угла. Это значит, что биссектриса делит трапецию на два равных прямоугольных треугольника. Поэтому мы можем построить прямоугольный треугольник с катетами 12 см и 18 см, а гипотенуза этого треугольника будет равна диагонали трапеции.

Применяя теорему Пифагора, найдем длину диагонали: ( 12^2 + 18^2 = c^2 ) ( 144 + 324 = c^2 ) ( 468 = c^2 ) ( c = \sqrt{468} ) ( c = 2\sqrt{117} ) ( c = 2\sqrt{9} \cdot \sqrt{13} ) ( c = 6\sqrt{13} )

Теперь найдем высоту трапеции. Для этого используем свойство прямоугольного треугольника: ( h^2 = 18^2 - 12^2 ) ( h^2 = 324 - 144 ) ( h^2 = 180 ) ( h = \sqrt{180} ) ( h = \sqrt{36} \cdot \sqrt{5} ) ( h = 6\sqrt{5} )

Теперь можем найти площадь трапеции по формуле: ( S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} ) ( S = \frac{(12 + 18) \cdot 6\sqrt{5}}{2} ) ( S = \frac{30 \cdot 6\sqrt{5}}{2} ) ( S = 90\sqrt{5} ) кв. см.

Итак, площадь равнобокой трапеции равна 90\sqrt{5} кв. см.

Для решения этой задачи начнем с анализа свойств равнобокой трапеции и свойств биссектрисы угла. В равнобокой трапеции боковые стороны равны, а биссектриса острого угла делит противоположную сторону на два равных отрезка.

1. Построение и обозначения:

   • Пусть (AB) и (CD) — основания трапеции, где (AB = 18) см и (CD = 12) см.
   • (AD) и (BC) — боковые равные стороны.
   • (AC) — диагональ, являющаяся биссектрисой угла (A).

2. Свойства биссектрисы и разбиение основания:

   • Так как (AC) биссектриса, угол (CAD) равен углу (DAC).
   • Диагональ (AC) делит меньшее основание (CD) на два равных отрезка, (CE = ED = \frac{12}{2} = 6) см.

3. Использование подобия треугольников:

   • Треугольники (ABC) и (ACD) подобны (по двум углам: общему углу при вершине (C) и равным углам при вершине (A), так как (AC) — биссектриса).
   • Соотношение сторон подобных треугольников: ( \frac{AB}{CD} = \frac{AC}{AC} = \frac{BC}{CD} ), откуда ( \frac{18}{12} = 1.5 ).
   • Так как (BC = AD) (по свойству равнобокой трапеции), то (BC = 1.5 \cdot ED = 1.5 \cdot 6 = 9) см.

4. Вычисление высоты трапеции:

   • Пусть (h) — высота трапеции, опущенная из точки (B) на основание (CD).
   • Применяем теорему Пифагора к треугольнику (BCD): (BC^2 = h^2 + ED^2), т.е. (9^2 = h^2 + 6^2).
   • Отсюда (81 = h^2 + 36), следовательно, (h^2 = 45), (h = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}) см.

5. Вычисление площади трапеции:

   • Площадь трапеции: (S = \frac{1}{2} (AB + CD) \cdot h = \frac{1}{2} (18 + 12) \cdot 3\sqrt{5} = 15 \cdot 3\sqrt{5} = 45\sqrt{5}) см².

Итак, площадь данной трапеции равна (45\sqrt{5}) квадратных сантиметров.