Осевым сечением конуса является равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого 9 м2. Найдите...

Чтобы найти объем конуса, нам нужно воспользоваться данными, которые даны в условии задачи, и базовыми формулами из геометрии.

Дано:

1. Осевое сечение конуса — равнобедренный прямоугольный треугольник.
2. Площадь этого треугольника равна 9 м².
3. Нужно найти объем конуса.

Шаг 1. Разберем геометрию осевого сечения

Осевое сечение конуса — это равнобедренный прямоугольный треугольник. Его катеты равны радиусу основания $R$ и высоте $H$ конуса, а гипотенуза является образующей $L$.

Площадь треугольника выражается через катеты как: $S=\frac{1}{2}\cdot R\cdot H.$ По условию, площадь $S=9$, значит, $\frac{1}{2}\cdot R\cdot H=9.$ Умножим обе части уравнения на 2: $R\cdot H=18.$

Шаг 2. Формула объема конуса

Объем конуса находится по формуле: $V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot R^2\cdot H,$ где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота.

Шаг 3. Выразим взаимосвязь $R$ и $H$

Из уравнения $1$ мы видим, что произведение радиуса основания и высоты равно 18: $R\cdot H=18.$ Если выразить одну переменную через другую, например, $H$, то: $H=\frac{18}{R}.$

Шаг 4. Подставим $H$ в формулу объема

Подставим $H=\frac{18}{R}$ в формулу объема: $V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot R^2\cdot \frac{18}{R}.$ Сократим $R$ в числителе и знаменателе: $V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot R\cdot 18.$ Упростим выражение: $V=6\cdot \pi \cdot R.$

Шаг 5. Найдем $R$ и $H$

Для того чтобы найти конкретные значения радиуса $R$ и высоты $H$, используем дополнительное условие: осевое сечение — равнобедренный прямоугольный треугольник. Это значит, что катеты $R$ и $H$ равны между собой: $R=H.$ Подставим $R=H$ в уравнение $R\cdot H=18$: $R\cdot R=18,$ или $R^2=18.$ Следовательно, $R=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.$ Так как $R=H$, то $H=3\sqrt{2}$.

Шаг 6. Найдем объем конуса

Подставляем $R=3\sqrt{2}$ и $H=3\sqrt{2}$ в формулу объема $V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot R^2\cdot H$: $V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (3\sqrt{2}{)}^2\cdot 3\sqrt{2}.$ Вычислим $(3\sqrt{2}$^2 ): $(3\sqrt{2}{)}^2=9\cdot 2=18.$ Теперь подставим: $V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 18\cdot 3\sqrt{2}.$ Сократим: $V=\pi \cdot 6\cdot 3\sqrt{2}.$ Упростим: $V=18\sqrt{2}\cdot \pi .$

Ответ:

Объем конуса равен: $V=18\sqrt{2}\cdot \pi {\text{м}}^3.$

Для решения задачи начнем с анализа осевого сечения конуса. Осевое сечение представляет собой треугольник, где одна из сторон является высотой конуса, а другая сторона — радиус основания. В данном случае нам дано, что осевое сечение — это равнобедренный прямоугольный треугольник с площадью 9 м².

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: $S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b,$ где $S$ — площадь, $a$ и $b$ — катеты треугольника. В нашем случае один катет будет равен радиусу основания конуса $r$, а другой катет — высоте конуса $h$.

Таким образом, у нас есть: $\frac{1}{2}\cdot r\cdot h=9.$ Умножим обе стороны на 2: $r\cdot h=18.$

Теперь мы можем выразить $h$ через $r$: $h=\frac{18}{r}.$

Объем конуса вычисляется по формуле: $V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h.$ Подставим выражение для $h$ в формулу объема: $V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot \frac{18}{r}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 18\cdot r=6\pi r.$

Чтобы найти объем, нам необходимо определить значение радиуса $r$. Однако в данной задаче радиус не задан явно, и мы не можем найти его конкретное значение только на основе площади осевого сечения. Мы можем лишь выразить объем через радиус.

Таким образом, объем конуса можно записать в виде: $V=6\pi r.$

Это означает, что для нахождения объема нам нужно либо знать радиус, либо иметь дополнительную информацию о конусе. Если радиус будет известен, мы сможем подставить его в формулу и найти объем. Если $r$ будет, например, равно 1 м, то объем будет равен $6\pi$ м³. Но без конкретного значения радиуса мы не можем вычислить объем.

В итоге, объем конуса зависит от радиуса $r$ и определяется формулой: $V=6\pi r.$

Объем конуса можно найти по формуле:

$V=\frac{1}{3}{S}_h\cdot H,$

где $S_h$ — площадь основания, а $H$ — высота конуса.

Так как осевым сечением конуса является равнобедренный прямоугольный треугольник, его площадь $S$ равна:

$S=\frac{1}{2}a\cdot h,$

где $a$ — основание, $h$ — высота треугольника.

Для равнобедренного треугольника, основание и высота будут равны длине радиуса основания конуса и высоте конуса соответственно.

Площадь треугольника равна 9 м², то есть:

$\frac{1}{2}a\cdot h=9.$

Если принять, что основание равно высоте, то:

$\frac{1}{2}{h}^2=9⟹h^2=18⟹h=3\sqrt{2}.$

Подставим значение высоты в формулу объема. Площадь основания $S_h$ будет равна:

$S_h=\frac{1}{2}{h}^2=9,$

тогда объем:

$V=\frac{1}{3}\cdot 9\cdot 3\sqrt{2}=9\sqrt{2}{\text{ м}}^3.$

Таким образом, объем конуса равен $9\sqrt{2}$ м³.