Рассмотрим задачу шаг за шагом, чтобы убедиться в правильности решения.
Шаг 1: Понимание осевого сечения
Осевое сечение конуса – это сечение, проходящее через вершину конуса и ось симметрии его основания. В данном случае нам сказано, что это сечение представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 12 см. Обозначим треугольник как ( ABC ), где ( BC ) – гипотенуза, а ( A ) – вершина треугольника (и вершина конуса).
Шаг 2: Определение радиуса и высоты
Поскольку треугольник ( ABC ) равнобедренный и прямоугольный, два катета ( AC ) и ( AB ) равны. Обозначим длину катетов через ( x ).
По теореме Пифагора для треугольника ( ABC ):
[ x^2 + x^2 = 12^2 ]
[ 2x^2 = 144 ]
[ x^2 = 72 ]
[ x = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} ]
Таким образом, ( AC = AB = 6\sqrt{2} ). В треугольнике ( ABC ), ( AC ) – это высота конуса, а ( AB ) – радиус основания конуса.
Шаг 3: Площадь основания
Площадь основания конуса ( S{\text{осн}} ) равна площади круга с радиусом ( R = 6\sqrt{2} ):
[ S{\text{осн}} = \pi R^2 ]
[ S{\text{осн}} = \pi (6\sqrt{2})^2 ]
[ S{\text{осн}} = \pi \cdot 72 ]
[ S_{\text{осн}} = 72\pi ]
Шаг 4: Площадь боковой поверхности
Для нахождения площади боковой поверхности ( S_{\text{бок}} ) нам нужно знать образующую конуса ( l ), которая равна гипотенузе треугольника ( ABC ) и составляет 12 см.
Формула для площади боковой поверхности конуса:
[ S{\text{бок}} = \pi R l ]
[ S{\text{бок}} = \pi \cdot 6\sqrt{2} \cdot 12 ]
[ S_{\text{бок}} = 72\pi\sqrt{2} ]
Шаг 5: Полная площадь поверхности
Полная площадь поверхности конуса ( S{\text{пол}} ) складывается из площади основания и боковой поверхности:
[ S{\text{пол}} = S{\text{осн}} + S{\text{бок}} ]
[ S_{\text{пол}} = 72\pi + 72\pi\sqrt{2} ]
Итог
Полная площадь поверхности конуса составляет:
[ S_{\text{пол}} = 72\pi + 72\pi\sqrt{2} ]
Таким образом, мы получили ответ, который включает площадь основания и боковой поверхности. Важно понимать каждый шаг и проверять вычисления, чтобы не допускать ошибок.
