Рассмотрим задачу шаг за шагом, чтобы убедиться в правильности решения.
Шаг 1: Понимание осевого сечения
Осевое сечение конуса – это сечение, проходящее через вершину конуса и ось симметрии его основания. В данном случае нам сказано, что это сечение представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 12 см. Обозначим треугольник как , где – гипотенуза, а – вершина треугольника .
Шаг 2: Определение радиуса и высоты
Поскольку треугольник равнобедренный и прямоугольный, два катета и равны. Обозначим длину катетов через .
По теореме Пифагора для треугольника :
Таким образом, . В треугольнике , – это высота конуса, а – радиус основания конуса.
Шаг 3: Площадь основания
Площадь основания конуса ( S{\text{осн}} ) равна площади круга с радиусом :
[ S{\text{осн}} = \pi R^2 ]
[ S{\text{осн}} = \pi ^2 ]
[ S{\text{осн}} = \pi \cdot 72 ]
Шаг 4: Площадь боковой поверхности
Для нахождения площади боковой поверхности нам нужно знать образующую конуса , которая равна гипотенузе треугольника и составляет 12 см.
Формула для площади боковой поверхности конуса:
[ S{\text{бок}} = \pi R l ]
[ S{\text{бок}} = \pi \cdot 6\sqrt{2} \cdot 12 ]
Шаг 5: Полная площадь поверхности
Полная площадь поверхности конуса ( S{\text{пол}} ) складывается из площади основания и боковой поверхности:
[ S{\text{пол}} = S{\text{осн}} + S{\text{бок}} ]
Итог
Полная площадь поверхности конуса составляет:
Таким образом, мы получили ответ, который включает площадь основания и боковой поверхности. Важно понимать каждый шаг и проверять вычисления, чтобы не допускать ошибок.