Осевое сечение конуса - прямоугольный треугольник с радиусом описанной окружности, равным 6. Найдите объём конуса.
Осевое сечение конуса - прямоугольный треугольник с радиусом описанной окружности, равным 6. Найдите объём конуса.
Для нахождения объёма конуса используем формулу:
[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h ]
где ( r ) — радиус основания конуса, ( h ) — высота конуса.
В данном случае осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник, для которого радиус описанной окружности ( R ) равен 6. В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, поэтому:
[ R = \frac{c}{2} ]
где ( c ) — гипотенуза. Таким образом, ( c = 2R = 12 ).
Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого катеты равны ( a ) и ( b ). По теореме Пифагора:
[ c^2 = a^2 + b^2 ]
Подставим ( c = 12 ):
[ 12^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow 144 = a^2 + b^2 ]
Радиус основания ( r ) равен половине основания треугольника, то есть:
[ r = \frac{b}{2} ]
Также можно выразить высоту ( h ) как:
[ h = a ]
Подставим ( r ) и ( h ) в формулу объёма:
[ V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{b}{2}\right)^2 a = \frac{1}{3} \pi \frac{b^2}{4} a ]
Теперь нам нужно выразить ( b^2 ) через ( a^2 ):
[ b^2 = 144 - a^2 ]
Подставим это в объём:
[ V = \frac{1}{3} \pi \frac{(144 - a^2)}{4} a ]
Теперь максимизируем объём, подбирая значения для ( a ) и ( b ), чтобы ( a ) и ( b ) удовлетворяли условиям. Однако, проще использовать данные о радиусе и высоте конуса, используя ( R = 6 ).
Пусть ( r ) — радиус основания, а ( h ) — высота. Тогда:
[ h^2 + r^2 = R^2 = 36 ]
Объём конуса можно выразить в зависимости от ( r ):
[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 \sqrt{36 - r^2} ]
Теперь нужно найти максимальный объём, подбирая ( r ). Для нахождения максимума можно использовать производную, но для простоты можно взять, что ( r = 6 ) и ( h = 0 ), что не даёт объём.
При максимизации с правильными значениями ( r ) и ( h ) получаем ( V = 72 \pi ).
Таким образом, объём конуса равен:
[ V = 72\pi ]
Чтобы найти объем конуса, сначала нужно определить его параметры, используя информацию о осевом сечении.
Определение параметров конуса: Осевое сечение конуса представляет собой прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:
Радиус описанной окружности этого треугольника равен 6. Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности можно выразить через катеты и гипотенузу:
[ R = \frac{c}{2} ]
где (c) — гипотенуза треугольника. Следовательно, гипотенуза равна:
[ c = 2R = 2 \cdot 6 = 12 ]
Теперь нам нужно выразить радиус (r) и высоту (h) через гипотенузу и применить теорему Пифагора:
[ c^2 = a^2 + b^2 ]
где (a = r) и (b = h). Таким образом:
[ 12^2 = r^2 + h^2 ]
[ 144 = r^2 + h^2 ]
Выбор соотношений: Мы не имеем дополнительной информации, чтобы найти конкретные значения (r) и (h). Однако мы можем выразить одно из значений через другое. Например, выразим (h) через (r):
[ h^2 = 144 - r^2 ]
Таким образом, высота (h) будет равна:
[ h = \sqrt{144 - r^2} ]
Объем конуса: Формула для объема (V) конуса выглядит следующим образом:
[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h ]
Подставим значение (h):
[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 \sqrt{144 - r^2} ]
Максимизация объема: Чтобы найти максимальный объем, можно взять производную от (V) по (r) и приравнять к нулю. Но для упрощения можно также использовать известное соотношение, что при равенстве радиуса и высоты конуса объем будет максимален. В этом случае (r = h).
Подставим (h = r) в уравнение (144 = r^2 + r^2):
[ 144 = 2r^2 \Rightarrow r^2 = 72 \Rightarrow r = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} ]
Теперь найдем (h):
[ h = r = 6\sqrt{2} ]
Вычисление объема: Подставим найденные значения радиуса и высоты в формулу объема:
[ V = \frac{1}{3} \pi (6\sqrt{2})^2 (6\sqrt{2}) = \frac{1}{3} \pi \cdot 72 \cdot 6\sqrt{2} ]
[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 432\sqrt{2} = 144\sqrt{2} \pi ]
Таким образом, объем конуса равен (144\sqrt{2} \pi) кубических единиц.
Давайте подробно разберём задачу.
Осевое сечение конуса является прямоугольным треугольником, в котором радиус описанной окружности равен 6. Нужно найти объём конуса.
Что такое осевое сечение конуса? Осевое сечение конуса — это сечение, проходящее через его вершину и ось симметрии. Такое сечение представляет собой равнобедренный треугольник, если конус правильный. По условию, данный треугольник — прямоугольный.
Свойства описанной окружности прямоугольного треугольника: В прямоугольном треугольнике радиус ( R ) описанной окружности равен половине гипотенузы. То есть: [ R = \frac{c}{2}, ] где ( c ) — гипотенуза треугольника. Нам известно, что ( R = 6 ), следовательно: [ c = 2R = 2 \cdot 6 = 12. ]
Обозначение сторон прямоугольного треугольника: Пусть:
Согласно теореме Пифагора, выполняется: [ a^2 + b^2 = c^2. ] Подставим ( c = 12 ): [ a^2 + b^2 = 144. ]
Геометрические характеристики конуса:
Формула объёма конуса: Объём конуса вычисляется по формуле: [ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h. ] Подставим ( r = \frac{a}{2} ) и ( h = b ): [ V = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{a}{2} \right)^2 b = \frac{1}{3} \pi \frac{a^2 b}{4} = \frac{\pi a^2 b}{12}. ]
Связь между сторонами треугольника: Мы знаем, что ( a^2 + b^2 = 144 ). Таким образом, объём можно выразить через ( a ) и ( b ), а затем найти их значения.
Для удобства рассмотрим соотношение сторон в прямоугольном треугольнике. Предположим, что ( a ) и ( b ) — целые числа. Тогда: [ a^2 + b^2 = 144 ] — это уравнение Пифагора. Подбор пар ( (a, b) ):
Рассчитываем объём: Если ( a = 9 ), то радиус основания конуса: [ r = \frac{a}{2} = \frac{9}{2} = 4.5. ] Высота ( h = b = 12 ).
Объём: [ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (4.5)^2 \cdot 12. ]
Посчитаем: [ (4.5)^2 = 20.25, \quad 20.25 \cdot 12 = 243. ] Таким образом: [ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 243 = 81\pi. ]
Объём конуса равен: [ V = 81\pi \, \text{(единиц объёма)}. ]
