Осевое сечение цилиндра - квадрат, диагональ которого равна 18см. Найдите площадь и объем полной поверхности...

Для решения задачи сначала найдем радиус основания цилиндра, а затем вычислим площадь и объем полной поверхности.

1. Находим сторону квадрата: Диагональ квадрата (d) связана со стороной (a) следующим образом: [ d = a\sqrt{2} ] Подставим известное значение: [ 18 = a\sqrt{2} ] Найдем сторону квадрата: [ a = \frac{18}{\sqrt{2}} = 9\sqrt{2} \text{ см} ]

2. Находим радиус основания цилиндра: Радиус (r) основания цилиндра равен половине стороны квадрата: [ r = \frac{a}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2} \text{ см} ]

3. Находим площадь полной поверхности цилиндра: Площадь полной поверхности цилиндра (S) вычисляется по формуле: [ S = 2\pi r^2 + 2\pi rh ] где (h) — высота цилиндра. Однако высота не указана в задаче, поэтому мы можем выразить площадь только через (r) и (h): [ S = 2\pi \left(\frac{9\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 2\pi \left(\frac{9\sqrt{2}}{2}\right) h ] [ S = 2\pi \left(\frac{81 \cdot 2}{4}\right) + 2\pi \left(\frac{9\sqrt{2}}{2}\right) h ] [ S = 81\pi + 9\sqrt{2}\pi h ]

4. Находим объем цилиндра: Объем (V) цилиндра вычисляется по формуле: [ V = \pi r^2 h ] [ V = \pi \left(\frac{9\sqrt{2}}{2}\right)^2 h ] [ V = \pi \left(\frac{81 \cdot 2}{4}\right) h ] [ V = 40.5\pi h ]

Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра (S = 81\pi + 9\sqrt{2}\pi h), а объем (V = 40.5\pi h). Чтобы найти конкретные значения, нужна высота цилиндра (h).

Для решения задачи начнем с определения характеристик цилиндра. Из условия мы знаем, что осевое сечение цилиндра представляет собой квадрат, диагональ которого равна 18 см.

Шаг 1: Найдем сторону квадрата

Диагональ квадрата (d) связана со стороной (a) следующим образом:

[ d = a\sqrt{2} ]

Подставим известное значение диагонали:

[ 18 = a\sqrt{2} ]

Теперь выразим сторону квадрата:

[ a = \frac{18}{\sqrt{2}} = \frac{18\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2} \text{ см} ]

Шаг 2: Найдем радиус основания цилиндра

Так как осевое сечение – это квадрат, то радиус основания цилиндра (r) равен половине стороны квадрата:

[ r = \frac{a}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2} \text{ см} ]

Шаг 3: Найдем высоту цилиндра

Высота цилиндра (h) равна стороне квадрата, так как осевое сечение проходит через центр основания и параллельно высоте:

[ h = a = 9\sqrt{2} \text{ см} ]

Шаг 4: Найдем площадь полной поверхности цилиндра

Площадь полной поверхности цилиндра (S) рассчитывается по формуле:

[ S = 2\pi r^2 + 2\pi rh ]

Подставим значения радиуса и высоты:

1. Площадь оснований: [ 2\pi r^2 = 2\pi \left(\frac{9\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 2\pi \cdot \frac{81 \cdot 2}{4} = 2\pi \cdot \frac{162}{4} = 81\pi \text{ см}^2 ]

2. Боковая поверхность: [ 2\pi rh = 2\pi \cdot \frac{9\sqrt{2}}{2} \cdot 9\sqrt{2} = 2\pi \cdot \frac{9 \cdot 9 \cdot 2}{2} = 81\pi \text{ см}^2 ]

Теперь сложим площади оснований и боковую площадь:

[ S = 81\pi + 81\pi = 162\pi \text{ см}^2 ]

Шаг 5: Найдем объем цилиндра

Объем цилиндра (V) вычисляется по формуле:

[ V = \pi r^2 h ]

Подставим радиус и высоту:

[ V = \pi \left(\frac{9\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot 9\sqrt{2} = \pi \cdot \frac{81 \cdot 2}{4} \cdot 9\sqrt{2} = \pi \cdot \frac{162}{4} \cdot 9\sqrt{2} ] [ V = \pi \cdot 40.5 \cdot 9\sqrt{2} = 364.5\sqrt{2}\pi \text{ см}^3 ]

Ответ

1. Площадь полной поверхности цилиндра: [ S = 162\pi \text{ см}^2 ]

2. Объем цилиндра: [ V = 364.5\sqrt{2}\pi \text{ см}^3 ]

Эти результаты дают полное представление о площади и объеме цилиндра с заданными характеристиками.

Для решения данной задачи разберем условия и поэтапно найдем все необходимые величины.

Условие:

1. Осевое сечение цилиндра — квадрат.
2. Диагональ квадрата равна ( 18 \, \text{см} ).
3. Требуется найти площадь полной поверхности и объем цилиндра.

Шаг 1. Анализ осевого сечения и его связи с цилиндром.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, образованный, если "разрезать" цилиндр вдоль его оси. По условию, осевое сечение является квадратом. Это означает:

• Высота цилиндра ( h ) равна стороне квадрата.
• Диаметр основания цилиндра ( d ) также равен стороне квадрата.

Обозначим сторону квадрата как ( a ). Для квадрата известно, что диагональ ( d{\text{квадрата}} ) выражается через сторону ( a ) по формуле: [ d{\text{квадрата}} = a \sqrt{2}. ]

По условию диагональ равна 18 см. Найдем ( a ): [ a \sqrt{2} = 18 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{18}{\sqrt{2}} = 18 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2}. ]

Итак, сторона квадрата равна: [ a = 9\sqrt{2} \, \text{см}. ]

Следовательно:

• Высота цилиндра ( h = 9\sqrt{2} \, \text{см} ),
• Диаметр основания ( d = 9\sqrt{2} \, \text{см} ).

Радиус основания цилиндра ( r ) равен половине диаметра: [ r = \frac{d}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2} \, \text{см}. ]

Шаг 2. Площадь полной поверхности цилиндра.

Площадь полной поверхности цилиндра состоит из двух кругов (оснований) и боковой поверхности. Формула для площади полной поверхности: [ S{\text{полная}} = 2S{\text{основания}} + S_{\text{боковая}}. ]

1. Площадь одного основания (круга): [ S{\text{основания}} = \pi r^2. ] Подставим ( r = \frac{9\sqrt{2}}{2} ): [ S{\text{основания}} = \pi \left( \frac{9\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \pi \cdot \frac{(9\sqrt{2})^2}{4} = \pi \cdot \frac{81 \cdot 2}{4} = \pi \cdot 40.5 = 40.5\pi \, \text{см}^2. ]

Так как у цилиндра два основания, их общая площадь: [ 2S_{\text{основания}} = 2 \cdot 40.5\pi = 81\pi \, \text{см}^2. ]

1. Площадь боковой поверхности: Формула для боковой поверхности: [ S{\text{боковая}} = 2\pi r h. ] Подставим ( r = \frac{9\sqrt{2}}{2} ) и ( h = 9\sqrt{2} ): [ S{\text{боковая}} = 2\pi \cdot \frac{9\sqrt{2}}{2} \cdot 9\sqrt{2} = 2\pi \cdot \frac{81 \cdot 2}{2} = 162\pi \, \text{см}^2. ]

2. Полная площадь: [ S{\text{полная}} = 2S{\text{основания}} + S_{\text{боковая}} = 81\pi + 162\pi = 243\pi \, \text{см}^2. ]

Шаг 3. Объем цилиндра.

Формула для объема цилиндра: [ V = S{\text{основания}} \cdot h. ] Подставим ( S{\text{основания}} = 40.5\pi ) и ( h = 9\sqrt{2} ): [ V = 40.5\pi \cdot 9\sqrt{2} = 364.5\pi \sqrt{2} \, \text{см}^3. ]

Ответ:

1. Площадь полной поверхности цилиндра: [ S_{\text{полная}} = 243\pi \, \text{см}^2 \quad \approx 763.41 \, \text{см}^2 \, (\text{если } \pi \approx 3.14). ]
2. Объем цилиндра: [ V = 364.5\pi \sqrt{2} \, \text{см}^3 \quad \approx 1618.96 \, \text{см}^3 \, (\text{если } \pi \approx 3.14 \text{ и } \sqrt{2} \approx 1.41). ]