Определить полную поверхность правильной четырёхугольной призмы, если её диагональ равна 14 см, а диагональ...

Полная поверхность правильной четырёхугольной призмы состоит из площади всех её боковых граней и двух оснований. Для нахождения площади каждой боковой грани правильной четырёхугольной призмы можно воспользоваться формулой площади трапеции:

S = (a + b) * h / 2,

где a и b - длины параллельных сторон трапеции (в данном случае 10 см и 14 см), h - высота трапеции (в данном случае это высота боковой грани призмы, которая равна длине боковой стороны призмы).

Таким образом, площадь каждой боковой грани равна (10 + 14) 10 / 2 = 120 см². Так как у правильной четырёхугольной призмы 4 боковые грани, то общая площадь всех боковых граней равна 4 120 = 480 см².

Площадь каждого основания равна площади четырёхугольника, который можно найти с помощью формулы площади четырёхугольника:

S = a * b,

где a и b - длины сторон четырёхугольника. В данном случае это стороны основания призмы, которые равны диагоналям основания (10 см и 14 см).

Таким образом, площадь каждого основания равна 10 14 = 140 см². Учитывая, что у призмы два основания, общая площадь обоих оснований равна 2 140 = 280 см².

Итак, общая площадь полной поверхности правильной четырёхугольной призмы равна сумме площади всех её боковых граней и площади обоих оснований:

480 + 280 = 760 см².

Для определения полной поверхности правильной четырёхугольной призмы, используя данные о её диагонали и диагонали боковой грани, следует выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Определение основных параметров

Правильная четырёхугольная призма имеет квадратное основание. Обозначим сторону квадрата основания за ( a ) и высоту призмы за ( h ).

Шаг 2: Использование диагонали основания

Диагональ основания ( d ) для квадрата со стороной ( a ) выражается формулой: [ d = a\sqrt{2} ]

Шаг 3: Использование диагонали боковой грани

Диагональ боковой грани призмы является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами ( a ) и ( h ). По условию задачи, диагональ боковой грани равна 10 см. Следовательно, можно записать: [ \sqrt{a^2 + h^2} = 10 ]

Шаг 4: Использование диагонали призмы

Диагональ правильной четырёхугольной призмы является гипотенузой треугольника с катетами ( d ) (диагональ основания) и ( h ) (высота призмы). По условию задачи, диагональ призмы равна 14 см. Следовательно, можно записать: [ \sqrt{d^2 + h^2} = 14 ] Подставим ( d = a\sqrt{2} ): [ \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + h^2} = 14 ] [ \sqrt{2a^2 + h^2} = 14 ] Возведем обе стороны в квадрат: [ 2a^2 + h^2 = 196 \quad \text{(1)} ]

Шаг 5: Решение системы уравнений

Теперь у нас есть две системы уравнений: [ a^2 + h^2 = 100 \quad \text{(2)} ] [ 2a^2 + h^2 = 196 \quad \text{(1)} ]

Для решения вычтем уравнение (2) из уравнения (1): [ (2a^2 + h^2) - (a^2 + h^2) = 196 - 100 ] [ a^2 = 96 ] [ a = \sqrt{96} ] [ a = 4\sqrt{6} ]

Теперь подставим ( a ) в уравнение (2), чтобы найти ( h ): [ (4\sqrt{6})^2 + h^2 = 100 ] [ 96 + h^2 = 100 ] [ h^2 = 4 ] [ h = 2 ]

Шаг 6: Определение полной поверхности призмы

Полная поверхность правильной четырёхугольной призмы состоит из двух оснований и четырёх боковых граней.

Площадь одного основания: [ S_{\text{осн}} = a^2 = (4\sqrt{6})^2 = 96 \ \text{см}^2 ]

Площадь четырёх боковых граней (каждая из которых прямоугольник со сторонами ( a ) и ( h )): [ S_{\text{бок}} = 4 \cdot (a \cdot h) = 4 \cdot (4\sqrt{6} \cdot 2) = 4 \cdot 8\sqrt{6} = 32\sqrt{6} \ \text{см}^2 ]

Полная поверхность призмы: [ S{\text{полн}} = 2 \cdot S{\text{осн}} + S{\text{бок}} ] [ S{\text{полн}} = 2 \cdot 96 + 32\sqrt{6} ] [ S_{\text{полн}} = 192 + 32\sqrt{6} \ \text{см}^2 ]

Итак, полная поверхность правильной четырёхугольной призмы составляет ( 192 + 32\sqrt{6} \ \text{см}^2 ).