Окружность с центром в точке М(2;-4) проходит через точку N(-3;1). Напишите уравнение этой окружности....

Чтобы найти уравнение окружности, нужно знать её центр и радиус. Центр окружности нам уже известен — это точка ( M(2; -4) ), а радиус можно найти, так как окружность проходит через точку ( N(-3; 1) ).

Общее уравнение окружности имеет вид: [ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2, ] где ((x_0, y_0)) — координаты центра окружности, а (R) — радиус.

Шаг 1. Найдём радиус окружности

Радиус (R) равен расстоянию между центром окружности (M(2; -4)) и точкой (N(-3; 1)). Формула расстояния между двумя точками: [ R = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}. ] Подставляем координаты точек (M(2; -4)) и (N(-3; 1)): [ R = \sqrt{(-3 - 2)^2 + (1 - (-4))^2}. ]

Выполним вычисления: [ R = \sqrt{(-3 - 2)^2 + (1 + 4)^2} = \sqrt{(-5)^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50}. ]

Радиус окружности равен (\sqrt{50} = 5\sqrt{2}).

Шаг 2. Запишем уравнение окружности

Теперь, зная центр окружности ((2; -4)) и радиус (R = 5\sqrt{2}), можем подставить эти значения в общее уравнение: [ (x - 2)^2 + (y + 4)^2 = (5\sqrt{2})^2. ]

Выполним возведение радиуса в квадрат: [ (5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50. ]

Таким образом, уравнение окружности: [ (x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 50. ]

Ответ:

Уравнение окружности: [ (x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 50. ]

Для нахождения уравнения окружности, нам нужно знать ее центр и радиус. Окружность с центром в точке М(2, -4) и радиусом, равным расстоянию от центра до точки N(-3, 1), будет иметь следующее уравнение.

1. Найдем радиус окружности.

Радиус можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками в координатной плоскости. Формула для нахождения расстояния (d) между точками (M(x_1, y_1)) и (N(x_2, y_2)) выглядит так:

[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ]

Подставим координаты точек M(2, -4) и N(-3, 1):

• (x_1 = 2), (y_1 = -4)
• (x_2 = -3), (y_2 = 1)

Теперь вычислим радиус:

[ d = \sqrt{((-3) - 2)^2 + (1 - (-4))^2} ]

[ d = \sqrt{(-5)^2 + (5)^2} ]

[ d = \sqrt{25 + 25} ]

[ d = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} ]

2. Запишем уравнение окружности.

Уравнение окружности с центром в точке ((x_0, y_0)) и радиусом (r) имеет вид:

[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 ]

Подставим координаты центра M(2, -4) и найденный радиус (5\sqrt{2}):

[ (x - 2)^2 + (y + 4)^2 = (5\sqrt{2})^2 ]

Вычислим квадрат радиуса:

[ (5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50 ]

Теперь подставим это значение в уравнение:

[ (x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 50 ]

3. Итоговое уравнение окружности.

Таким образом, уравнение окружности, проходящей через точку N(-3, 1) с центром в точке M(2, -4), будет:

[ (x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 50 ]

Это и есть окончательный ответ на ваш вопрос.