Окружность с центром (5; 3) касается оси ординат. В каких точках она пересекает ось абсцисс?
Окружность с центром (5; 3) касается оси ординат. В каких точках она пересекает ось абсцисс?
Итак, рассмотрим окружность с центром в точке ((5; 3)), которая касается оси ординат. Нам нужно определить, в каких точках эта окружность пересекает ось абсцисс.
Определение радиуса окружности: Поскольку окружность касается оси ординат (оси (y)), расстояние от центра окружности до этой оси равно радиусу окружности. Центр окружности имеет координаты ((5; 3)), и расстояние от точки ((5; 3)) до оси ординат (оси (y)) равно 5 (это абсцисса центра). Таким образом, радиус (R) окружности равен 5.
Уравнение окружности: Окружность с центром ((h, k)) и радиусом (R) описывается уравнением: [ (x - h)^2 + (y - k)^2 = R^2 ] В нашем случае (h = 5), (k = 3), и (R = 5). Подставляя эти значения, получаем уравнение: [ (x - 5)^2 + (y - 3)^2 = 5^2 ] или [ (x - 5)^2 + (y - 3)^2 = 25 ]
Пересечение с осью абсцисс: Чтобы найти точки пересечения окружности с осью абсцисс (ось (x)), нужно подставить (y = 0) в уравнение окружности и решить его относительно (x). Подставляем (y = 0) в уравнение: [ (x - 5)^2 + (0 - 3)^2 = 25 ] Получаем: [ (x - 5)^2 + 9 = 25 ] Вычитаем 9 из обеих частей уравнения: [ (x - 5)^2 = 16 ] Теперь извлекаем квадратный корень из обеих частей: [ x - 5 = \pm 4 ] То есть, у нас два решения: [ x - 5 = 4 \quad \text{или} \quad x - 5 = -4 ] Решаем каждое из них: [ x = 9 \quad \text{или} \quad x = 1 ]
Таким образом, окружность пересекает ось абсцисс в точках ((9, 0)) и ((1, 0)).
Для того чтобы найти точки пересечения окружности с центром (5; 3) с осью абсцисс, нужно воспользоваться уравнением окружности и условием касания оси ординат.
Уравнение окружности с центром (5; 3) имеет вид: (x - 5)^2 + (y - 3)^2 = r^2
Учитывая условие касания оси ординат (то есть x = 0), подставим x = 0 в уравнение окружности: (0 - 5)^2 + (y - 3)^2 = r^2 25 + (y - 3)^2 = r^2 (y - 3)^2 = r^2 - 25
Так как точки пересечения с осью абсцисс лежат на оси, то y = 0. Подставим y = 0 в уравнение: (-3)^2 = r^2 - 25 9 = r^2 - 25 r^2 = 34
Теперь найдем точки пересечения окружности с осью абсцисс: (y - 3)^2 = 34 - 25 (y - 3)^2 = 9 y - 3 = ±3 y = 3 ± 3
Таким образом, точки пересечения окружности с осью абсцисс это (5; 0) и (5; 6).
