Окружность проходит через точки М (2; 0) и N (-4; 8). Напишите уравнение этой окружности, если отрезок...

Для того чтобы найти уравнение окружности, проходящей через точки M(2; 0) и N(-4; 8) и имеющей диаметром отрезок MN, нужно сначала найти координаты центра окружности.

Сначала найдем середину отрезка MN, которая будет являться центром окружности. Координаты середины отрезка можно найти по формуле:

x = (x₁ + x₂) / 2 y = (y₁ + y₂) / 2

где (x₁, y₁) - координаты точки M(2; 0), (x₂, y₂) - координаты точки N(-4; 8).

x = (2 - 4) / 2 = -1 y = (0 + 8) / 2 = 4

Таким образом, координаты центра окружности равны (-1; 4).

Зная центр окружности и одну из точек на окружности (например, точку M), можно найти радиус окружности, который равен половине длины диаметра.

r = √((x - x₁)² + (y - y₁)²) r = √((-1 - 2)² + (4 - 0)²) r = √((-3)² + 4²) r = √(9 + 16) r = √25 r = 5

Итак, у нас есть координаты центра окружности (-1; 4) и радиус окружности r = 5. Уравнение окружности имеет вид:

(x + 1)² + (y - 4)² = 5² (x + 1)² + (y - 4)² = 25

Ответ: (x + 1)² + (y - 4)² = 25.

Чтобы найти уравнение окружности, проходящей через точки ( M(2, 0) ) и ( N(-4, 8) ), где отрезок ( MN ) является её диаметром, нам необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти центр окружности:

   Центр окружности, диаметр которой является отрезок ( MN ), находится в середине этого отрезка. Координаты середины отрезка ( MN ) можно найти, используя формулу для середины отрезка:

   [ C\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) ]

   где ( (x_1, y_1) = (2, 0) ) и ( (x_2, y_2) = (-4, 8) ).

   [ C\left(\frac{2 + (-4)}{2}, \frac{0 + 8}{2}\right) = C\left(\frac{-2}{2}, \frac{8}{2}\right) = C(-1, 4) ]

   Таким образом, центр окружности ( C ) имеет координаты ((-1, 4)).

2. Найти радиус окружности:

   Радиус окружности равен половине длины диаметра ( MN ). Сначала найдём длину отрезка ( MN ) с помощью формулы расстояния между двумя точками:

   [ MN = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ]

   Подставим координаты ( M ) и ( N ):

   [ MN = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 ]

   Радиус ( r ) окружности равен половине длины диаметра:

   [ r = \frac{10}{2} = 5 ]

3. Записать уравнение окружности:

   Уравнение окружности с центром в точке ( (h, k) ) и радиусом ( r ) имеет вид:

   [ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 ]

   Для данной окружности центр ( C(-1, 4) ) и радиус ( r = 5 ). Подставим эти значения в уравнение:

   [ (x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 5^2 ]

   [ (x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 25 ]

Таким образом, уравнение окружности, проходящей через точки ( M(2, 0) ) и ( N(-4, 8) ) с диаметром ( MN ), имеет вид:

[ (x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 25 ]