Около правильного многоугольника описана окружность радиусом 12 см. Сторона многоугольника удалена от...

Для решения данной задачи нам нужно воспользоваться формулой для нахождения радиуса вписанной в окружность многоугольника:

r = R * cos(180° / n),

где r - радиус вписанной окружности, R - радиус описанной окружности, n - количество сторон многоугольника.

Подставим известные значения в формулу:

r = 12 * cos(180° / n).

Учитывая условие задачи, что сторона многоугольника удалена от центра на 6 см, мы можем выразить радиус вписанной окружности через сторону многоугольника:

r = 6 * tan(180° / n).

Теперь приравняем два выражения для радиуса вписанной окружности:

12 cos(180° / n) = 6 tan(180° / n).

Решив это уравнение, мы найдем количество сторон многоугольника n.

Чтобы найти число сторон правильного многоугольника, около которого описана окружность радиусом 12 см, и сторона которого удалена от центра на 6 см, можно воспользоваться следующими соображениями.

Обозначим:

• ( R ) — радиус описанной окружности (12 см),
• ( a ) — сторона правильного многоугольника,
• ( n ) — число сторон многоугольника,
• ( d ) — расстояние от центра многоугольника до его стороны (6 см).

Для правильного многоугольника справедливы следующие формулы:

1. Радиус описанной окружности выражается через сторону и число сторон как: [ R = \frac{a}{2 \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)} ]

2. Апофема (или расстояние от центра до стороны) выражается как: [ d = \frac{a}{2 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)} ]

Из этих двух уравнений можно выразить сторону ( a ) и затем составить уравнение:

[ \frac{a}{2 \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)} = 12 ]

[ \frac{a}{2 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)} = 6 ]

Из первого уравнения: [ a = 24 \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) ]

Из второго уравнения: [ a = 12 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) ]

Приравняем выражения для ( a ): [ 24 \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = 12 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) ]

Упростим: [ 2 \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) ]

Преобразуем тангенс через синус и косинус: [ 2 \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)} ]

Умножим обе части на (\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)): [ 2 \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \cos\left(\frac{\pi}{n}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) ]

Если (\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \neq 0), делим обе части на (\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)): [ 2 \cos\left(\frac{\pi}{n}\right) = 1 ]

Таким образом: [ \cos\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{1}{2} ]

Значение (\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{1}{2}) соответствует углу (\frac{\pi}{n} = \frac{\pi}{3}), то есть (n = 6).

Следовательно, правильный многоугольник является правильным шестиугольником. Ответ: ( n = 6 ).