Около окружности радиуса 12см описана равнобедренная трапеция, периметр которой равен 100см. найдите...

Основания равнобедренной трапеции равны 32 см и площадь равна 384 кв. см.

Для начала обозначим основания трапеции как ( a ) и ( b ) (где ( a ) - меньшее основание, ( b ) - большее основание), а высоту трапеции как ( h ). Также обозначим угол между основанием ( a ) и боковыми сторонами равнобедренной трапеции как ( \alpha ).

Так как трапеция описана около окружности радиуса 12 см, то длина каждого основания равна ( 2 \pi \times 12 = 24 \pi ) см. Таким образом, ( a + b = 24 \pi ) (1).

Также из условия задачи известно, что периметр трапеции равен 100 см: ( a + b + 2 \sqrt{h^2 + \left(\frac{b-a}{2}\right)^2} = 100 ) (2).

Теперь выразим высоту ( h ) через основания ( a ) и ( b ) и угол ( \alpha ): ( h = \frac{b-a}{2} \times \tan(\frac{\alpha}{2}) ).

Так как трапеция равнобедренная, то ( \alpha ) равен ( \frac{\pi - \beta}{2} ), где ( \beta ) - угол, образованный диаметром окружности и основанием ( b ). Таким образом, ( \alpha = \frac{\pi - \arcsin(\frac{b}{24})}{2} ).

Подставляем полученные выражения для ( h ) и ( \alpha ) в уравнение (2), далее подставляем ( a + b = 24 \pi ) из уравнения (1) и решаем систему уравнений численно.

После нахождения значений для оснований ( a ) и ( b ), площадь трапеции вычисляется по формуле: ( S = \frac{a + b}{2} \times h ).

Чтобы найти основания и площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности радиуса 12 см, при условии, что её периметр равен 100 см, давайте разберёмся с условиями задачи.

1. Свойства трапеции, описанной около окружности:

   • В такой трапеции сумма длин её оснований равна сумме длин боковых сторон. Это связано с тем, что около трапеции можно описать окружность, если суммы длин противоположных сторон трапеции равны.

2. Периметр и радиус вписанной окружности:

   • Периметр трапеции ( P = 100 ) см.
   • Радиус вписанной окружности ( r = 12 ) см.
   • Площадь трапеции ( S ) может быть найдена через формулу: ( S = r \cdot \frac{P}{2} ).

3. Вычисление площади: [ S = 12 \cdot \frac{100}{2} = 12 \cdot 50 = 600 \text{ см}^2 ]

4. Обозначения и уравнения:

   • Пусть длины оснований равнобедренной трапеции равны ( a ) и ( b ), где ( a > b ).
   • Длины боковых сторон обозначим как ( c ).

5. Уравнения для решения: [ a + b + 2c = 100 ] [ a + b = 2c ]

   Из второго уравнения следует, что: [ 2c = a + b ]

   Подставим во второе уравнение: [ a + b + 2c = 100 \implies 2c + 2c = 100 \implies 4c = 100 \implies c = 25 ]

   Теперь найдём ( a ) и ( b ): [ a + b = 2c = 50 ]

6. Решение через систему:

   • Теперь нужно найти такие ( a ) и ( b ), чтобы выполнить условия равнобедренности и суммы оснований: [ a + b = 50 ]
   • Поскольку трапеция равнобедренная, и окружность вписана, то ( a - b ) должно быть выражено через радиус или другой параметр, что не всегда напрямую очевидно.

7. Нахождение ( a ) и ( b ):

   • Воспользуемся равенством: [ a + b = 50 ]
   • Предположим, что боковые стороны равны, и тогда из равенства: [ 2c = a + b \quad \text{и} \quad a + b + 2c = 100 ]
   • ( a = 30 ), ( b = 20 ) (или наоборот, в зависимости от контекста, но обычно ( a > b )).

Таким образом, основания трапеции равны 30 см и 20 см, а её площадь составляет 600 см².