Одна из диагоналей ромба в 3 раза больше другой а площадь ромба равна 54 найдите сторону ромба

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойства ромба. Поскольку одна из диагоналей ромба в 3 раза больше другой, то можно представить диагонали в виде 3х и х (где х - меньшая диагональ).

Площадь ромба можно найти по формуле: S = (d1 * d2) / 2, где d1 и d2 - диагонали ромба.

Таким образом, имеем уравнение: 54 = (3x * x) / 2.

Упростим уравнение: 54 = 3x^2 / 2.

Умножим обе части на 2: 108 = 3x^2.

Разделим обе части на 3: 36 = x^2.

Извлечем квадратный корень: x = 6.

Таким образом, сторона ромба равна 6.

Для решения задачи о нахождении стороны ромба при известных диагоналях и площади, начнем с теоретических основ и поэтапного анализа.

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны, а диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам.

Пусть длины диагоналей ромба равны ( d_1 ) и ( d_2 ). Нам дано, что одна из диагоналей в 3 раза больше другой, т.е. ( d_1 = 3d_2 ).

Также известно, что площадь ромба равна 54. Формула для нахождения площади ромба через диагонали выглядит так: [ S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 ]

Подставим известные значения в эту формулу: [ 54 = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 ]

Теперь заменим ( d_1 ) на ( 3d_2 ): [ 54 = \frac{1}{2} \cdot 3d_2 \cdot d_2 ] [ 54 = \frac{3}{2} \cdot d_2^2 ]

Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: [ 108 = 3 \cdot d_2^2 ]

Разделим обе стороны уравнения на 3: [ 36 = d_2^2 ]

Найдем ( d_2 ), взяв квадратный корень из 36: [ d_2 = \sqrt{36} ] [ d_2 = 6 ]

Теперь найдем ( d_1 ), зная, что ( d_1 = 3d_2 ): [ d_1 = 3 \cdot 6 ] [ d_1 = 18 ]

Теперь у нас есть длины диагоналей: ( d_1 = 18 ) и ( d_2 = 6 ).

Диагонали ромба делятся пополам при пересечении, поэтому каждая половина диагонали равна: [ \frac{d_1}{2} = \frac{18}{2} = 9 ] [ \frac{d_2}{2} = \frac{6}{2} = 3 ]

Теперь у нас есть два отрезка, которые являются катетами прямоугольного треугольника (половины диагоналей):

Гипотенуза этого треугольника является стороной ромба ( a ), которую мы и ищем. Используем теорему Пифагора: [ a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} ] [ a = \sqrt{9^2 + 3^2} ] [ a = \sqrt{81 + 9} ] [ a = \sqrt{90} ] [ a = 3\sqrt{10} ]

Таким образом, сторона ромба равна ( 3\sqrt{10} ) единиц.