Одна из биссектрис основания правильной треугольной пирамиды равна 15, а высота пирамиды равна 30. Найлите...

Для решения этой задачи нам необходимо найти угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды. Этот угол будет равен углу между биссектрисой основания и высотой пирамиды.

Из геометрии правильной треугольной пирамиды известно, что биссектриса основания делит ее на два равных треугольника. Поэтому мы можем построить прямоугольный треугольник, в котором катет равен половине высоты пирамиды (15) и гипотенуза равна биссектрисе основания (15).

Теперь можем использовать тангенс угла: tan(угла) = противолежащий катет / прилежащий катет tan(угла) = 15 / 15 tan(угла) = 1

Таким образом, тангенс угла между плоскостью боковой грани и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды равен 1.

Для решения задачи нам нужно найти тангенс угла между плоскостью боковой грани правильной треугольной пирамиды и плоскостью её основания. Давайте обозначим вершину пирамиды ( S ), центр основания ( O ), вершины основания ( A, B ) и ( C ), где треугольник ( ABC ) — это правильный треугольник.

1. Вычисление стороны основания треугольника: Длина биссектрисы правильного треугольника ( ABC ) из вершины ( A ) равна 15. В правильном треугольнике биссектриса, медиана и высота из одной вершины совпадают. Длину медианы правильного треугольника можно вычислить по формуле: [ m = \frac{\sqrt{3}}{2}a, ] где ( a ) — сторона треугольника. Поскольку медиана равна 15, получаем: [ \frac{\sqrt{3}}{2}a = 15 \implies a = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}. ]

2. Вычисление высоты основания: Высота правильного треугольника ( ABC ), опущенная из вершины ( A ) на сторону ( BC ), также совпадает с биссектрисой и медианой. Высота ( h ) правильного треугольника равна: [ h = \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 10\sqrt{3} = 15. ]

3. Вычисление высоты пирамиды: Высота пирамиды ( SO ) равна 30. Центр основания ( O ) также является центром описанной окружности правильного треугольника ( ABC ).

4. Вычисление радиуса описанной окружности основания: Радиус описанной окружности правильного треугольника ( ABC ) равен: [ R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 10. ]

5. Вычисление длины апофемы пирамиды: Апофема пирамиды ( SA ) — это высота боковой грани, опущенная из вершины ( S ) на сторону ( A ) треугольника ( ABC ). Она образует прямоугольный треугольник ( SOA ), где ( SO ) — высота пирамиды, а ( OA ) — радиус описанной окружности основания. По теореме Пифагора находим ( SA ): [ SA = \sqrt{SO^2 + OA^2} = \sqrt{30^2 + 10^2} = \sqrt{900 + 100} = \sqrt{1000} = 10\sqrt{10}. ]

6. Нахождение тангенса угла ( \varphi ): Угол ( \varphi ) между плоскостью боковой грани ( SAB ) и плоскостью основания ( ABC ) равен углу между апофемой пирамиды ( SA ) и высотой пирамиды ( SO ): [ \tan \varphi = \frac{AO}{SO} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}. ]

Итак, тангенс угла между плоскостью боковой грани пирамиды и плоскостью её основания равен ( \frac{1}{3} ).