Напишите уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и точку М(2; -4; 3)

Для того чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и точку M(2; -4; 3), воспользуемся следующим методом.

1. Определение общего вида уравнения плоскости: Уравнение плоскости в общем виде записывается как: [ Ax + By + Cz + D = 0 ] Здесь (A), (B), (C) и (D) — это коэффициенты, которые нам нужно определить.

2. Условие прохождения плоскости через ось Oz: Плоскость проходит через ось (Oz), что означает, что она пересекает ось (Oz) во всех точках, где (x = 0) и (y = 0). Подставив эти значения в уравнение плоскости, получаем: [ A \cdot 0 + B \cdot 0 + Cz + D = 0 \implies Cz + D = 0 ] Это уравнение должно выполняться для всех значений (z). Следовательно, (D = 0), и уравнение плоскости упрощается до: [ Ax + By + Cz = 0 ]

3. Подстановка координат точки M(2, -4, 3): Поскольку точка (M(2, -4, 3)) лежит в плоскости, её координаты должны удовлетворять уравнению плоскости: [ A \cdot 2 + B \cdot (-4) + C \cdot 3 = 0 ] То есть: [ 2A - 4B + 3C = 0 ]

4. Определение коэффициентов: Это уравнение имеет бесконечное множество решений, потому что мы имеем только одно уравнение с тремя неизвестными (A, B и C). Чтобы получить конкретное уравнение плоскости, можно выбрать произвольные значения для двух из трех коэффициентов и решить уравнение для третьего.

   Например, выберем (A = 1) и (B = 1): [ 2 \cdot 1 - 4 \cdot 1 + 3C = 0 \implies 2 - 4 + 3C = 0 \implies -2 + 3C = 0 \implies 3C = 2 \implies C = \frac{2}{3} ]

   Таким образом, уравнение плоскости будет: [ x + y + \frac{2}{3}z = 0 ]

5. Приведение уравнения к стандартному виду: Умножим все уравнение на 3, чтобы избавиться от дробного коэффициента: [ 3x + 3y + 2z = 0 ]

Итак, уравнение плоскости, проходящей через ось (Oz) и точку (M(2, -4, 3)), будет: [ 3x + 3y + 2z = 0 ]

Уравнение плоскости можно записать в виде:

Ax + By + Cz + D = 0,

где (A, B, C) - координаты нормального вектора к плоскости, а (x, y, z) - координаты произвольной точки на плоскости.

Поскольку плоскость проходит через ось Oz, она параллельна плоскости xOy, то есть координаты нормального вектора будут (0, 0, 1).

Таким образом, уравнение плоскости примет вид:

0x + 0y + 1*z + D = 0,

или просто

z + D = 0.

Теперь найдем значение D, подставив координаты точки М(2; -4; 3):

3 + D = 0, D = -3.

Итак, уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и точку М(2; -4; 3), будет:

z - 3 = 0.

Уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и точку M(2; -4; 3): z = 0.