Найти угол между прямыми AB и CD, если A(1;1;2) B(0;1;1) C(2;-2;2) D(2;-3;1)

Для нахождения угла между двумя прямыми, проходящими через точки (A(1,1,2)), (B(0,1,1)), (C(2,-2,2)) и (D(2,-3,1)), нам нужно сначала найти векторы направления этих прямых. После этого можно будет вычислить угол между этими векторами.

1. Найдем вектор направления для прямой (AB): Если (A = (1,1,2)) и (B = (0,1,1)), то вектор (\vec{AB}) можно найти по формуле: [ \vec{AB} = B - A = (0 - 1, 1 - 1, 1 - 2) = (-1, 0, -1) ]

2. Найдем вектор направления для прямой (CD): Если (C = (2,-2,2)) и (D = (2,-3,1)), то вектор (\vec{CD}) можно найти по формуле: [ \vec{CD} = D - C = (2 - 2, -3 + 2, 1 - 2) = (0, -1, -1) ]

3. Теперь, когда у нас есть два вектора направления (\vec{AB} = (-1, 0, -1)) и (\vec{CD} = (0, -1, -1)), мы можем найти угол между этими векторами, используя формулу для угла между двумя векторами: [ \cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| |\vec{CD}|} ] где (\vec{AB} \cdot \vec{CD}) — скалярное произведение векторов, а (|\vec{AB}|) и (|\vec{CD}|) — их длины.

4. Скалярное произведение (\vec{AB} \cdot \vec{CD}): [ \vec{AB} \cdot \vec{CD} = (-1) \cdot 0 + 0 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) = 0 + 0 + 1 = 1 ]

5. Длина вектора (\vec{AB}): [ |\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} ]

6. Длина вектора (\vec{CD}): [ |\vec{CD}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2} ]

7. Подставляем в формулу для (\cos \theta): [ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{2}} = \frac{1}{2} ] Отсюда, (\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)), что соответствует углу (60^\circ).

Таким образом, угол между прямыми (AB) и (CD) составляет (60^\circ).

Для нахождения угла между прямыми AB и CD необходимо найти направляющие векторы этих прямых и затем использовать формулу для нахождения угла между векторами.

1. Найдем направляющие векторы прямых AB и CD.

Направляющий вектор прямой AB: n1 = B - A = (0 - 1; 1 - 1; 1 - 2) = (-1; 0; -1)

Направляющий вектор прямой CD: n2 = D - C = (2 - 2; -3 - (-2); 1 - 2) = (0; -1; -1)

1. Найдем косинус угла между векторами n1 и n2.

cos(θ) = (n1 n2) / (|n1| |n2|), где n1 * n2 - скалярное произведение векторов n1 и n2, |n1| и |n2| - длины векторов n1 и n2.

n1 n2 = (-1 0) + (0 -1) + (-1 -1) = 1, |n1| = √((-1)^2 + 0^2 + (-1)^2) = √2, |n2| = √(0^2 + (-1)^2 + (-1)^2) = √2.

cos(θ) = 1 / (2 * 2) = 1 / 2.

1. Найдем угол между прямыми AB и CD.

θ = arccos(1 / 2) ≈ 60°.

Итак, угол между прямыми AB и CD составляет приблизительно 60 градусов.