Найти площадь сечения плоскостью куба проходящей через ребро АВ и середину ребра В1С1, если ребро куба...

Площадь сечения будет равна 1 кв. см.

Для нахождения площади сечения куба плоскостью, проходящей через ребро $AB$ и середину ребра $B_1{C}_1$, рассмотрим куб с ребром длиной 2 см. Мы обозначим вершины куба следующим образом:

• $A$ — вершина $(0,0,0$ )
• $B$ — вершина $(2,0,0$ )
• $C$ — вершина $(2,2,0$ )
• $D$ — вершина $(0,2,0$ )
• $A_1$ — вершина $(0,0,2$ )
• $B_1$ — вершина $(2,0,2$ )
• $C_1$ — вершина $(2,2,2$ )
• $D_1$ — вершина $(0,2,2$ )

Рассмотрим точки через которые проходит плоскость:

1. $AB$ — это ребро куба, проходящее через точки $A(0,0,0$ ) и $B(2,0,0$ ).
2. Середина ребра $B_1{C}_1$. Середина этого ребра будет точкой, координаты которой средние между координатами $B_1$ и $C_1$. Таким образом, если $B_1(2,0,2$ ) и $C_1(2,2,2$ ), то координаты середины будут: $(\frac{2+2}{2},\frac{0+2}{2},\frac{2+2}{2})=(2,1,2)$

Теперь у нас есть три точки плоскости: $A(0,0,0$ ), $B(2,0,0$ ), и середина ребра $B_1{C}_1$ — точка $(2,1,2$ ).

Определим уравнение плоскости, проходящей через эти точки. Пусть уравнение плоскости имеет вид: $ax+by+cz=d$

Подставим координаты точек $A(0,0,0$ ), $B(2,0,0$ ), и $(2,1,2$ ) в уравнение плоскости:

1. $0a+0b+0c=d\Rightarrow d=0$
2. $2a+0b+0c=0\Rightarrow a=0$
3. $2a+1b+2c=0\Rightarrow 0+b+2c=0\Rightarrow b=-2c$

Так как у нас $a=0$, $b=-2c$, уравнение плоскости можно записать как: $-2cz+cz=0\Rightarrow y-2z=0$

Теперь рассмотрим пересечение этой плоскости с кубом. Плоскость пересекает ребра куба, проходя через точки $A$, $B$, и $(2,1,2$ ). Сечение будет четырехугольником. Найдем другие точки пересечения плоскости с ребрами куба:

1. $y-2z=0\to y=2z$
2. При $z=0$, точки пересечения: $A(0,0,0$ ) и $B(2,0,0$ )
3. При $z=1$, $y=2\to (0,2,1$ ) и $(2,2,1$ )

Теперь у нас есть точки пересечения $A(0,0,0$ ), $B(2,0,0$ ), $(2,2,1$ ), $(0,2,1$ ).

Это прямоугольная трапеция с двумя основаниями длиной $2$ и высотой $1$.

Площадь трапеции: $S=\frac{1}{2}\cdot (a+b)\cdot h$ где $a=2$, $b=2$, $h=1$: $S=\frac{1}{2}\cdot (2+2)\cdot 1=2{\text{см}}^2$

Итак, площадь сечения плоскостью куба равна $2$ квадратным сантиметрам.

Для того чтобы найти площадь сечения плоскостью куба, проходящей через ребро АВ и середину ребра В1С1, нужно выполнить следующие шаги.

1. Найдем длину отрезка В1С1, который является половиной диагонали грани куба. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ВВ1С1: В1С1 = √$В{С}^2+ВВ1^2$ = √$2^2+2^2$ = √8 = 2√2 см.

2. Площадь сечения будет равна произведению длины ребра куба $2см$ на длину отрезка В1С1 $2\surd 2см$, так как сечение проходит через эти две линии: S = 2 см * 2√2 см = 4√2 см^2.

Итак, площадь сечения плоскостью куба, проходящей через ребро АВ и середину ребра В1С1, составляет 4√2 квадратных сантиметра.