Найти площадь сечения плоскостью куба проходящей через ребро АВ и середину ребра В1С1, если ребро куба...

Площадь сечения будет равна 1 кв. см.

Для нахождения площади сечения куба плоскостью, проходящей через ребро ( AB ) и середину ребра ( B_1C_1 ), рассмотрим куб с ребром длиной 2 см. Мы обозначим вершины куба следующим образом:

• ( A ) — вершина ( (0, 0, 0) )
• ( B ) — вершина ( (2, 0, 0) )
• ( C ) — вершина ( (2, 2, 0) )
• ( D ) — вершина ( (0, 2, 0) )
• ( A_1 ) — вершина ( (0, 0, 2) )
• ( B_1 ) — вершина ( (2, 0, 2) )
• ( C_1 ) — вершина ( (2, 2, 2) )
• ( D_1 ) — вершина ( (0, 2, 2) )

Рассмотрим точки через которые проходит плоскость:

1. ( AB ) — это ребро куба, проходящее через точки ( A(0, 0, 0) ) и ( B(2, 0, 0) ).
2. Середина ребра ( B_1C_1 ). Середина этого ребра будет точкой, координаты которой средние между координатами ( B_1 ) и ( C_1 ). Таким образом, если ( B_1 (2, 0, 2) ) и ( C_1 (2, 2, 2) ), то координаты середины будут: [ \left( \frac{2+2}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{2+2}{2} \right) = (2, 1, 2) ]

Теперь у нас есть три точки плоскости: ( A(0, 0, 0) ), ( B(2, 0, 0) ), и середина ребра ( B_1C_1 ) — точка ( (2, 1, 2) ).

Определим уравнение плоскости, проходящей через эти точки. Пусть уравнение плоскости имеет вид: [ ax + by + cz = d ]

Подставим координаты точек ( A(0, 0, 0) ), ( B(2, 0, 0) ), и ( (2, 1, 2) ) в уравнение плоскости:

1. ( 0a + 0b + 0c = d \Rightarrow d = 0 )
2. ( 2a + 0b + 0c = 0 \Rightarrow a = 0 )
3. ( 2a + 1b + 2c = 0 \Rightarrow 0 + b + 2c = 0 \Rightarrow b = -2c )

Так как у нас ( a = 0 ), ( b = -2c ), уравнение плоскости можно записать как: [ -2cz + cz = 0 \Rightarrow y - 2z = 0 ]

Теперь рассмотрим пересечение этой плоскости с кубом. Плоскость пересекает ребра куба, проходя через точки ( A ), ( B ), и ( (2, 1, 2) ). Сечение будет четырехугольником. Найдем другие точки пересечения плоскости с ребрами куба:

1. ( y - 2z = 0 \rightarrow y = 2z )
2. При ( z = 0 ), точки пересечения: ( A(0, 0, 0) ) и ( B(2, 0, 0) )
3. При ( z = 1 ), ( y = 2 \rightarrow (0, 2, 1) ) и ( (2, 2, 1) )

Теперь у нас есть точки пересечения ( A(0,0,0) ), ( B(2,0,0) ), ( (2,2,1) ), ( (0,2,1) ).

Это прямоугольная трапеция с двумя основаниями длиной ( 2 ) и высотой ( 1 ).

Площадь трапеции: [ S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h ] где ( a = 2 ), ( b = 2 ), ( h = 1 ): [ S = \frac{1}{2} \cdot (2 + 2) \cdot 1 = 2 \, \text{см}^2 ]

Итак, площадь сечения плоскостью куба равна ( 2 ) квадратным сантиметрам.

Для того чтобы найти площадь сечения плоскостью куба, проходящей через ребро АВ и середину ребра В1С1, нужно выполнить следующие шаги.

1. Найдем длину отрезка В1С1, который является половиной диагонали грани куба. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ВВ1С1: В1С1 = √(ВС^2 + ВВ1^2) = √(2^2 + 2^2) = √8 = 2√2 см.

2. Площадь сечения будет равна произведению длины ребра куба (2 см) на длину отрезка В1С1 (2√2 см), так как сечение проходит через эти две линии: S = 2 см * 2√2 см = 4√2 см^2.

Итак, площадь сечения плоскостью куба, проходящей через ребро АВ и середину ребра В1С1, составляет 4√2 квадратных сантиметра.