Найти площадь ромба если его сторона 15 см, а сумма диагоналей 42 см

Чтобы найти площадь ромба, мы можем использовать формулу, основанную на его диагоналях. Площадь ромба ( S ) равна половине произведения его диагоналей:

[ S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}, ]

где ( d_1 ) и ( d_2 ) — длины диагоналей.

У нас есть следующие данные:

• Сторона ромба ( a = 15 ) см.
• Сумма диагоналей: ( d_1 + d_2 = 42 ) см.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам в точке пересечения. Это означает, что каждая диагональ образует два прямоугольных треугольника с половинами диагоналей в качестве катетов и стороной ромба в качестве гипотенузы. Таким образом, для каждой диагонали можно записать уравнение:

[ \left( \frac{d_1}{2} \right)^2 + \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 = a^2. ]

Подставим известные значения:

[ \left( \frac{d_1}{2} \right)^2 + \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 = 15^2. ]

Упростим уравнение:

[ \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = 225. ]

Умножим всё уравнение на 4, чтобы избавиться от дробей:

[ d_1^2 + d_2^2 = 900. ]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. ( d_1 + d_2 = 42 ).
2. ( d_1^2 + d_2^2 = 900 ).

Чтобы решить систему, выразим ( d_1 ) из первого уравнения:

[ d_1 = 42 - d_2. ]

Подставим это выражение во второе уравнение:

[ (42 - d_2)^2 + d_2^2 = 900. ]

Раскроем скобки:

[ 1764 - 84d_2 + d_2^2 + d_2^2 = 900. ]

Соберем подобные члены:

[ 2d_2^2 - 84d_2 + 864 = 0. ]

Разделим все уравнение на 2:

[ d_2^2 - 42d_2 + 432 = 0. ]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Найдем дискриминант ( D ):

[ D = b^2 - 4ac = (-42)^2 - 4 \times 1 \times 432. ]

[ D = 1764 - 1728 = 36. ]

Теперь найдем корни уравнения:

[ d_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{42 \pm 6}{2}. ]

Получим два возможных значения для ( d_2 ):

1. ( d_2 = \frac{42 + 6}{2} = 24 ).
2. ( d_2 = \frac{42 - 6}{2} = 18 ).

Таким образом, возможные значения диагоналей ( d_1 ) и ( d_2 ) — это 24 и 18 см.

Теперь вычислим площадь ромба:

[ S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{24 \cdot 18}{2} = \frac{432}{2} = 216 \, \text{см}^2. ]

Итак, площадь ромба составляет 216 квадратных сантиметров.

Для нахождения площади ромба с известными стороной и суммой диагоналей, можно воспользоваться следующей формулой:

S = (d1 * d2) / 2,

где S - площадь ромба, d1 и d2 - длины его диагоналей.

По условию известно, что сторона ромба равна 15 см, а сумма диагоналей равна 42 см. Так как диагонали ромба делят его на четыре одинаковых треугольника, то каждая диагональ равна половине суммы диагоналей.

Таким образом, диагонали ромба равны d1 = 42 / 2 = 21 см и d2 = 21 см.

Подставляем значения в формулу:

S = (21 * 21) / 2 = 441 / 2 = 220.5 см².

Итак, площадь ромба с длиной стороны 15 см и суммой диагоналей 42 см равна 220.5 см².

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. По формуле S = 1/2 d1 d2, где d1 и d2 - диагонали ромба, площадь будет равна 1/2 42 см 15 см = 315 см^2.