Найти площадь параллелограмма MPKN, если PKM=45 градусов, PN=26, PK=5 корней из 2 P.S. Я решил, но приходилось...

Конечно, можем обойтись без вычисления арксинусов. Давайте разберёмся, как найти площадь параллелограмма MPKN, используя имеющиеся данные.

Вам даны:

• Угол (\angle PKM = 45^\circ),
• Длина (PN = 26),
• Длина (PK = 5\sqrt{2}).

Площадь параллелограмма можно найти через формулу:

[ S = ab \sin \theta, ]

где (a) и (b) — стороны параллелограмма, а (\theta) — угол между ними.

Однако, у нас нет прямых данных для сторон (MP) и (MK), но у нас есть сторона (PK) и угол между (PK) и (MK), который равен (45^\circ).

Сначала найдём сторону (MK) через сторону (PK) и угол (\angle PKM):

• (\angle PKM = 45^\circ) указывает на то, что треугольник (PKM) является равнобедренным, так как (PK = 5\sqrt{2}), и угол (45^\circ) говорит нам о том, что если (MK) будет равен (PK), то (\angle KMP) также будет (45^\circ).

Так как (\angle PKM = 45^\circ), то треугольник (PKM) является прямоугольным, и (\angle KPM = 45^\circ). Таким образом, (MK = PK = 5\sqrt{2}).

Теперь, чтобы найти площадь параллелограмма MPKN, используем:

[ S = PK \cdot MK \cdot \sin(45^\circ). ]

Подставим значения:

[ S = (5\sqrt{2}) \cdot (5\sqrt{2}) \cdot \sin(45^\circ). ]

Мы знаем, что (\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}). Таким образом:

[ S = 50 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 25\sqrt{2}. ]

Итак, площадь параллелограмма MPKN равна (25\sqrt{2}). Мы успешно обошлись без вычисления арксинусов!

Да, можно решить данную задачу без использования арксинусов. Для этого можно воспользоваться тригонометрическими свойствами и формулами для площади параллелограмма.

Из условия известно, что угол PKM равен 45 градусов, следовательно, треугольник PKM является прямоугольным. Мы знаем длины его катетов PK и PN, поэтому можем найти длину гипотенузы KM, применив теорему Пифагора:

KM = √(PK^2 + PN^2) = √((5√2)^2 + 26^2) = √(50 + 676) = √726 = 27

Теперь у нас есть длины всех сторон параллелограмма MPKN: PK = 5√2, KM = 27, KN = PN = 26. Для нахождения площади параллелограмма можно воспользоваться формулой:

S = PK KN sin(PKM)

S = 5√2 26 sin(45)

S = 5√2 26 √2/2

S = 5 26 2 = 260

Итак, площадь параллелограмма MPKN равна 260.