Найти cos α, tg α, если sin α=1/5.

Для нахождения косинуса и тангенса угла 𝛼, если известно, что синус угла равен 1/5, можно воспользоваться тригонометрическими соотношениями.

Известно, что sin$𝛼$ = 1/5.

1. Найдем катет, противоположный углу 𝛼, и гипотенузу прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: a² + b² = c², 1² + b² = 5², b² = 25 - 1, b² = 24, b = √24 = 2√6.

2. Теперь, найдем косинус угла 𝛼: cos$𝛼$ = adjacent / hypotenuse, cos$𝛼$ = 2√6 / 5.

3. Наконец, найдем тангенс угла 𝛼: tg$𝛼$ = opposite / adjacent, tg$𝛼$ = 1 / 2√6 = √6 / 12 = √6 / 2√6 * √6 / √6 = 1/6.

Итак, cos$𝛼$ = 2√6 / 5 и tg$𝛼$ = 1/6.

cos α = √24/5, tg α = 1/√24

Для того чтобы найти значения косинуса и тангенса угла α, зная значение синуса этого угла, можно использовать основные тригонометрические тождества и формулы.

1. Начнем с нахождения cos α. Используем основное тригонометрическое тождество: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1.$ Подставляем известное значение $\sin \alpha =\frac{1}{5}$: ${\left(\frac{1}{5}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1.$ $\frac{1}{25}+{\cos }^2\alpha =1.$ ${\cos }^2\alpha =1-\frac{1}{25}=\frac{24}{25}.$ Таким образом: $\cos \alpha =\pm \sqrt{\frac{24}{25}}=\pm \frac{\sqrt{24}}{5}=\pm \frac{2\sqrt{6}}{5}.$ Знак косинуса зависит от того, в какой четверти находится угол α. Если $\sin \alpha =\frac{1}{5}$ положителен, то для первой и второй четверти значения косинуса будут $\cos \alpha =\frac{2\sqrt{6}}{5}$ и $\cos \alpha =-\frac{2\sqrt{6}}{5}$ соответственно.

2. Теперь найдем tg α. Формула для тангенса: $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }.$ Подставляем значения: $\tan \alpha =\frac{\frac{1}{5}}{\pm \frac{2\sqrt{6}}{5}}=\frac{1}{\pm 2\sqrt{6}}=\pm \frac{1}{2\sqrt{6}}.$ Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$: $\tan \alpha =\pm \frac{\sqrt{6}}{12}.$

Итак, в зависимости от четверти, в которой находится угол α:

• Если α находится в первой четверти: $\cos \alpha =\frac{2\sqrt{6}}{5}$, $\tan \alpha =\frac{\sqrt{6}}{12}$.
• Если α находится во второй четверти: $\cos \alpha =-\frac{2\sqrt{6}}{5}$, $\tan \alpha =-\frac{\sqrt{6}}{12}$.