Найти cos α, tg α, если sin α=1/5.
Найти cos α, tg α, если sin α=1/5.
Для нахождения косинуса и тангенса угла 𝛼, если известно, что синус угла равен 1/5, можно воспользоваться тригонометрическими соотношениями.
Известно, что sin(𝛼) = 1/5.
Найдем катет, противоположный углу 𝛼, и гипотенузу прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: a² + b² = c², 1² + b² = 5², b² = 25 - 1, b² = 24, b = √24 = 2√6.
Теперь, найдем косинус угла 𝛼: cos(𝛼) = adjacent / hypotenuse, cos(𝛼) = 2√6 / 5.
Наконец, найдем тангенс угла 𝛼: tg(𝛼) = opposite / adjacent, tg(𝛼) = 1 / 2√6 = √6 / 12 = √6 / 2√6 * √6 / √6 = 1/6.
Итак, cos(𝛼) = 2√6 / 5 и tg(𝛼) = 1/6.
cos α = √24/5, tg α = 1/√24
Для того чтобы найти значения косинуса и тангенса угла α, зная значение синуса этого угла, можно использовать основные тригонометрические тождества и формулы.
Начнем с нахождения cos α. Используем основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1. ] Подставляем известное значение (\sin \alpha = \frac{1}{5}): [ \left(\frac{1}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1. ] [ \frac{1}{25} + \cos^2 \alpha = 1. ] [ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}. ] Таким образом: [ \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{24}{25}} = \pm \frac{\sqrt{24}}{5} = \pm \frac{2\sqrt{6}}{5}. ] Знак косинуса зависит от того, в какой четверти находится угол α. Если (\sin \alpha = \frac{1}{5}) положителен, то для первой и второй четверти значения косинуса будут (\cos \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5}) и (\cos \alpha = -\frac{2\sqrt{6}}{5}) соответственно.
Теперь найдем tg α. Формула для тангенса: [ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}. ] Подставляем значения: [ \tan \alpha = \frac{\frac{1}{5}}{\pm \frac{2\sqrt{6}}{5}} = \frac{1}{\pm 2\sqrt{6}} = \pm \frac{1}{2\sqrt{6}}. ] Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на (\sqrt{6}): [ \tan \alpha = \pm \frac{\sqrt{6}}{12}. ]
Итак, в зависимости от четверти, в которой находится угол α:
