Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, если сторона её основания равна a, а апофема - l

Высота правильной треугольной пирамиды может быть найдена с использованием формулы: h = sqrt(l^2 - (a/2)^2), где l - апофема (расстояние от вершины пирамиды до центра основания), a - сторона основания.

Подставив известные значения, мы можем вычислить высоту пирамиды.

Чтобы найти высоту правильной треугольной пирамиды, необходимо рассмотреть её геометрические свойства и взаимосвязи между элементами.

Правильная треугольная пирамида — это пирамида, основание которой является равносторонним треугольником, а все боковые грани — равнобедренные треугольники. В данном случае, известны длина стороны основания ( a ) и апофема ( l ).

Разберём задачу по шагам:

1. Определение центра основания: Основание пирамиды — это равносторонний треугольник со стороной ( a ). Центром основания ( O ) будет точка пересечения медиан треугольника. Медианы равностороннего треугольника пересекаются в одной точке, которая делит их в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

2. Длина медианы: Длина медианы равностороннего треугольника можно найти по формуле: [ m = \frac{\sqrt{3}}{2} a ]

3. Положение апофемы: Апофема пирамиды ( l ) — это высота боковой грани, опущенная из вершины пирамиды на середину стороны основания. В боковой грани (равнобедренном треугольнике с основанием ( a ) и равными сторонами, равными рёбрам пирамиды) апофема делит основание пополам.

4. Соотношения в треугольнике: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды ( h ), апофемой ( l ) и отрезком, соединяющим центр основания ( O ) с серединой стороны основания. Этот отрезок равен ( \frac{\sqrt{3}}{6} a ), так как это медиана, делённая на 2 (поскольку медиана делится точкой пересечения медиан в соотношении 2:1).

5. Применение теоремы Пифагора: В прямоугольном треугольнике с катетами ( h ) (высота пирамиды) и ( \frac{\sqrt{3}}{6} a ) (расстояние от центра основания до середины стороны основания) и гипотенузой ( l ) (апофема), применим теорему Пифагора: [ h^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{6} a \right)^2 = l^2 ]

   Упростим выражение: [ h^2 + \frac{3a^2}{36} = l^2 ] [ h^2 + \frac{a^2}{12} = l^2 ] [ h^2 = l^2 - \frac{a^2}{12} ] [ h = \sqrt{l^2 - \frac{a^2}{12}} ]

Таким образом, высота правильной треугольной пирамиды ( h ) выражается через сторону основания ( a ) и апофему ( l ) следующим образом: [ h = \sqrt{l^2 - \frac{a^2}{12}} ]