Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, если сторона её основания равна a, а апофема - l

Высота правильной треугольной пирамиды может быть найдена с использованием формулы: h = sqrt$l^2-(a/2$^2), где l - апофема $расстояниеотвершиныпирамидыдоцентраоснования$, a - сторона основания.

Подставив известные значения, мы можем вычислить высоту пирамиды.

Чтобы найти высоту правильной треугольной пирамиды, необходимо рассмотреть её геометрические свойства и взаимосвязи между элементами.

Правильная треугольная пирамида — это пирамида, основание которой является равносторонним треугольником, а все боковые грани — равнобедренные треугольники. В данном случае, известны длина стороны основания $a$ и апофема $l$.

Разберём задачу по шагам:

1. Определение центра основания: Основание пирамиды — это равносторонний треугольник со стороной $a$. Центром основания $O$ будет точка пересечения медиан треугольника. Медианы равностороннего треугольника пересекаются в одной точке, которая делит их в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

2. Длина медианы: Длина медианы равностороннего треугольника можно найти по формуле: $m=\frac{\sqrt{3}}{2}a$

3. Положение апофемы: Апофема пирамиды $l$ — это высота боковой грани, опущенная из вершины пирамиды на середину стороны основания. В боковой грани $равнобедренномтреугольникесоснованием(a$ и равными сторонами, равными рёбрам пирамиды) апофема делит основание пополам.

4. Соотношения в треугольнике: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h$, апофемой $l$ и отрезком, соединяющим центр основания $O$ с серединой стороны основания. Этот отрезок равен $\frac{\sqrt{3}}{6}a$, так как это медиана, делённая на 2 $посколькумедианаделитсяточкойпересечениямедианвсоотношении2:1$.

5. Применение теоремы Пифагора: В прямоугольном треугольнике с катетами $h$ $высотапирамиды$ и $\frac{\sqrt{3}}{6}a$ $расстояниеотцентраоснованиядосерединыстороныоснования$ и гипотенузой $l$ $апофема$, применим теорему Пифагора: $h^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{6}a\right)}^2=l^2$

   Упростим выражение: $h^2+\frac{3a^2}{36}=l^2$ $h^2+\frac{a^2}{12}=l^2$ $h^2=l^2-\frac{a^2}{12}$ $h=\sqrt{l^2-\frac{a^2}{12}}$

Таким образом, высота правильной треугольной пирамиды $h$ выражается через сторону основания $a$ и апофему $l$ следующим образом: $h=\sqrt{l^2-\frac{a^2}{12}}$