Найдите высоту правильной четырехугольной пирамиды если площадь ее боковой поверхности равна 80 см^2...

Чтобы найти высоту правильной четырехугольной пирамиды, мы используем данные о площадях боковой и полной поверхностей.

1. Определение терминов:

   • Правильная четырехугольная пирамида — это пирамида, у которой в основании лежит квадрат, а все боковые грани — равнобедренные треугольники.
   • Площадь боковой поверхности — это сумма площадей всех боковых граней.
   • Площадь полной поверхности — это сумма площадей боковой поверхности и основания.

2. Данные задачи:

   • Площадь боковой поверхности ( S_{\text{бок}} = 80 \, \text{см}^2 ).
   • Площадь полной поверхности ( S_{\text{полн}} = 96 \, \text{см}^2 ).

3. Нахождение площади основания: Площадь полной поверхности равна сумме площади боковой поверхности и площади основания: [ S{\text{полн}} = S{\text{бок}} + S{\text{осн}} ] Подставляя известные значения: [ 96 = 80 + S{\text{осн}} ] Отсюда площадь основания: [ S_{\text{осн}} = 96 - 80 = 16 \, \text{см}^2 ]

4. Нахождение стороны основания: Поскольку основание — квадрат, его площадь выражается как квадрат длины стороны: [ a^2 = 16 ] Откуда длина стороны основания: [ a = \sqrt{16} = 4 \, \text{см} ]

5. Нахождение апофемы (высоты боковой грани): Площадь боковой поверхности составляет сумму площадей четырех равнобедренных треугольников. Если ( l ) — апофема, то площадь одной боковой грани равна (\frac{1}{2} \cdot a \cdot l). Для четырех граней: [ 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot l = 80 ] [ 2 \cdot 4 \cdot l = 80 ] [ 8l = 80 ] [ l = 10 \, \text{см} ]

6. Нахождение высоты пирамиды: Высота пирамиды ( h ) связана с апофемой и половиной стороны основания через прямоугольный треугольник. В этом треугольнике апофема ( l ) является гипотенузой, а половина стороны основания (\frac{a}{2} = 2) — одним из катетов. Используя теорему Пифагора: [ l^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 ] [ 10^2 = h^2 + 2^2 ] [ 100 = h^2 + 4 ] [ h^2 = 96 ] [ h = \sqrt{96} = 4\sqrt{6} \, \text{см} ]

Таким образом, высота правильной четырехугольной пирамиды равна ( 4\sqrt{6} \, \text{см} ).

Для нахождения высоты правильной четырехугольной пирамиды необходимо воспользоваться формулой: h = (2 * S_b) / P, где h - высота пирамиды, S_b - площадь боковой поверхности, P - периметр основания.

Из условия известно, что S_b = 80 см^2, P = 96 см, следовательно: h = (2 * 80) / 96 = 1.67 см.

Ответ: высота пирамиды равна 1.67 см.

Для нахождения высоты правильной четырехугольной пирамиды воспользуемся формулой для площади боковой поверхности прямоугольной пирамиды:

Sб = (P * l) / 2,

где Sб - площадь боковой поверхности, P - периметр основания, l - высота боковой грани.

Так как у нас правильная четырехугольная пирамида, то периметр основания равен 4 * a, где а - длина стороны основания.

Также площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания:

Sп = Sб + Sо,

где Sп - площадь полной поверхности, Sо - площадь основания.

Подставим известные значения:

80 = (4 a l) / 2, 96 = 80 + Sо.

Отсюда находим высоту боковой грани l:

l = (80 2) / (4 a) = 40 / a.

Далее, найдем площадь основания Sо:

Sо = 96 - 80 = 16.

Так как у нас правильная четырехугольная пирамида, то площадь основания равна a^2.

Подставим в уравнение:

a^2 = 16, a = 4.

Теперь найдем высоту l:

l = 40 / 4 = 10.

Таким образом, высота правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см.