Найдите точки пересечения окружности x2+y2=1 с прямой y=2x+1

Чтобы найти точки пересечения окружности (x^2 + y^2 = 1) с прямой (y = 2x + 1), нужно подставить уравнение прямой в уравнение окружности и решить полученную систему уравнений.

1. Подставим (y = 2x + 1) в уравнение окружности (x^2 + y^2 = 1):

[ x^2 + (2x + 1)^2 = 1 ]

1. Раскроем квадрат в уравнении:

[ x^2 + (4x^2 + 4x + 1) = 1 ] [ x^2 + 4x^2 + 4x + 1 = 1 ]

1. Приведем подобные члены:

[ 5x^2 + 4x + 1 = 1 ]

1. Упростим уравнение, вычитая 1 из обеих частей:

[ 5x^2 + 4x = 0 ]

1. Вынесем (x) за скобки:

[ x(5x + 4) = 0 ]

1. Решим полученное уравнение. Оно имеет два корня:

[ x = 0 ] [ 5x + 4 = 0 \implies x = -\frac{4}{5} ]

Теперь у нас есть два значения для (x). Подставим их в уравнение прямой (y = 2x + 1), чтобы найти соответствующие значения (y).

Для (x = 0):

[ y = 2(0) + 1 = 1 ]

Для (x = -\frac{4}{5}):

[ y = 2\left(-\frac{4}{5}\right) + 1 = -\frac{8}{5} + 1 = -\frac{8}{5} + \frac{5}{5} = -\frac{3}{5} ]

Итак, точки пересечения окружности и прямой:

1. ( (0, 1) )
2. ( \left(-\frac{4}{5}, -\frac{3}{5}\right) )

Таким образом, точки пересечения окружности (x^2 + y^2 = 1) с прямой (y = 2x + 1) — это ((0, 1)) и (\left(-\frac{4}{5}, -\frac{3}{5}\right)).

Для того чтобы найти точки пересечения окружности с уравнением x^2 + y^2 = 1 и прямой с уравнением y = 2x + 1, необходимо решить систему уравнений, подставив выражение y из уравнения прямой в уравнение окружности.

Подставляем y = 2x + 1 в уравнение окружности: x^2 + (2x + 1)^2 = 1 x^2 + 4x^2 + 4x + 1 = 1 5x^2 + 4x = 0 x(5x + 4) = 0

Отсюда получаем два возможных значения x: x = 0 и x = -4/5.

Подставляем найденные значения x обратно в уравнение прямой, чтобы найти соответствующие значения y: Для x = 0: y = 2*0 + 1 = 1 Точка пересечения при x = 0: (0, 1)

Для x = -4/5: y = 2*(-4/5) + 1 = -8/5 + 1 = -3/5 Точка пересечения при x = -4/5: (-4/5, -3/5)

Итак, точки пересечения окружности x^2 + y^2 = 1 с прямой y = 2x + 1 имеют координаты (0, 1) и (-4/5, -3/5).

Для нахождения точек пересечения необходимо подставить уравнение прямой в уравнение окружности и решить полученное уравнение.